Álgebra lineal: ¿Cómo definimos el determinante de un endomorfismo de forma independiente de la base?

Answer 1

Dado un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] de dimensión [matemática] n [/ matemático] sobre algún campo [matemático] \ mathbb F [/ matemático] y un endomorfismo [matemático] f: V \ rightarrow V [/ matemático ], el determinante de [math] f [/ math], denotado [math] \ det f [/ math], puede definirse como sigue.

Considere el espacio [matemáticas] \ Lambda ^ n V ^ \ estrella [/ matemáticas] de alternar mapas lineales [matemáticas] n [/ matemáticas] desde [matemáticas] V ^ n [/ matemáticas] al campo de tierra. Como [math] \ Lambda ^ n V ^ \ star [/ math] es unidimensional, sus endomorfismos consisten en la multiplicación escalar con algún factor. El factor escalar asociado con el endomorfismo inducido canónicamente en [matemáticas] \ Lambda ^ n V ^ \ star [/ matemáticas] por [matemáticas] f [/ matemáticas] es precisamente el determinante [matemáticas] \ det f [/ matemáticas]. En otras palabras, si [math] g: V ^ n \ rightarrow \ mathbb F [/ math] es cualquier mapa lineal [math] n [/ math] alternativo, entonces

[matemáticas] g (f (v_1), \ ldots, f (v_n)) = (\ det f) g (v_1, \ dots, v_n) [/ math]

para todos [math] v_1, \ ldots, v_n \ en V [/ math].

Answer 2

El determinante de una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo es el producto de sus valores propios (con multiplicidad), y puede hacer que esa sea la definición.

No necesita que la transformación sea diagonalizable para que esto se mantenga. Debe saber cómo explicar las multiplicidades, y esto puede hacerse, por ejemplo, de la siguiente manera: la multiplicidad del valor propio [math] \ lambda [/ math] es la dimensión del núcleo de [math] (T- \ lambda I) ^ n [/ math] donde [math] n [/ math] es la dimensión del espacio ambiental.

Alternativamente, y con un poco más de elegancia, puede definir la multiplicidad de un valor propio para que sea la dimensión del conjunto de vectores propios generalizados asociados a él. Un vector propio generalizado es un vector [matemático] v [/ matemático] tal que, para algunos enteros [matemático] k [/ matemático], [matemático] (T- \ lambda I) ^ kv = 0 [/ matemático].

Finalmente, para que esta definición funcione, debe pasar a un campo cerrado algebraicamente (como los números complejos), para que no se pierda ningún valor propio. Pero note nuevamente que esto no tiene nada que ver con que la transformación sea diagonalizable; Hay muchas transformaciones no diagonalizables sobre los números complejos. Además, tenga en cuenta que el determinante así definido todavía está garantizado en el campo de tierra con el que comenzó, incluso si no está algebraicamente cerrado.

Para más detalles, vea “Álgebra lineal bien hecha” de Axler, o su artículo “¡Abajo los determinantes!” disponible aquí: http://www.axler.net/DwD.pdf .