¿Qué representa realmente el determinante de una matriz, tanto matemática como físicamente?

Answer 1

Actualización: reescritura importante con nuevo material de un hilo de comentarios. Por brevedad, uso la notación Matlab: [ab] es un vector de fila, [a; c] (o [ac] ‘) es un vector de columna y [ab; cd] es una matriz.

Ya sea que lo esté utilizando o no en un contexto geométrico, una matriz se puede interpretar como una transformación geométrica que se aplica a vectores o formas construidas a partir de vectores. Es más común definir la transformación multiplicando a la izquierda la matriz en un vector de columna, como en Ax = b, o un lote de vectores de columna agrupados en una matriz, como en AX = B. Entonces, cualquier matriz particular puede interpretarse como una combinación de operaciones de escala, rotación, cizallamiento y / o reflexión.
Matriz de transformación .

Muy importante, dada esta configuración, las columnas de A son en lo que se asignan los respectivos vectores unitarios [1 0 …], [0 1 …] etc. Por eso, si toma un conjunto completo de vectores unitarios agrupados en una matriz de identidad, [1 0 …; 0 1 …; …], tienes AI = A, porque solo estás copiando las columnas en orden.

El determinante entonces es una medida del área (2D), volumen (3D), hipervolumen (4D ++) del paralelogramo (2D), palelelepiped (3D) o hiperparellepiped (4D ++) definido por las columnas de la matriz. Para una prueba ilustrada del caso 2D donde det ([ab; cd]) = ad-bc, vea Geometría de determinante, pero la idea básica es bastante general.

Entonces, el determinante de una matriz de identidad es el área / volumen / hipervolumen de una unidad cuadrada / cubo / hipercubo, es decir, 1. Y det (A) es tanto el volumen de la forma definida por las columnas de A como el factor por el cual el área / volumen / hipervolumen de cualquier forma cambia cuando lo transforma por A.

Si el determinante es negativo, significa que A cambia la orientación. Si es 1, significa que la matriz conserva el área / volumen / hipervolumen. Si es 0, significa que aplasta las formas planas en al menos una dimensión.

La propiedad mágica del determinante mediante la cual puede agregar un múltiplo de cualquier columna a cualquier otra columna sin cambiar el resultado corresponde al hecho geométrico de que si mueve una esquina paralela a cualquiera de los otros lados, está aplicando un poco más o menos cizalladura perpendicular al vector unitario correspondiente a la columna que cambió, y haciendo que la forma sea un poco menos o más cuadrada / cúbica / etc., pero manteniendo la “altura” y la “base” iguales (consulte Propiedades de un paralelogramo) , que es todo lo que importa para el área / volumen / etc.

La regla de Cramer luego explota esto para extraer los coeficientes de x en Ax = b uno a la vez. b es una mezcla de las columnas de A de acuerdo con los valores en x. Si reemplaza la primera columna en A por b, ha movido la esquina definida por esa columna en la 1ª dirección por un factor x1, por lo que ha aumentado el área / volumen / hipervolumen en x1. También ha movido la esquina en las direcciones 2, 3, 4, etc. en varias cantidades, pero eso no cambia nada. Entonces, la proporción del área / volumen / hipervolumen antes y después da x1. Ver también Página sobre Wolfram .

Answer 2

El determinante es un número que puede calcularse a partir de las entradas de una matriz cuadrada mediante una fórmula no trivial.

La idea del determinante es: Como ya sabrá, para cada matriz cuadrada con n filas / columnas hay un mapeo lineal en el espacio vectorial n-dimensional de los vectores de columna definidos multiplicando la matriz por los vectores de columna.

Ahora los n vectores unitarios (aquellos con solo una entrada 1, los otros 0) pueden verse como las coordenadas del hipercubo unitario. Cada figura construida a partir de n vectores como este tiene un “volumen” (generalizado a partir del volumen en 3 espacios, o área en 2 espacios, o longitud en 1 espacio); observe que el volumen está firmado: el cubo de 2 construido a partir de [matemáticas]
\ begin {pmatrix}
-1 \\
0 0
\ end {pmatrix} [/ math] y [math]
\ begin {pmatrix}
0 \\
1
\ end {pmatrix} [/ math] tiene volumen -1, el construido a partir de [math] \ begin {pmatrix} -1 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math] y [math] \ begin {pmatrix} 0 \\ – 1 \ end {pmatrix} [/ math] tiene el volumen 1 nuevamente.

Ahora para el determinante: la matriz asigna el conjunto de vectores unitarios a otro conjunto de vectores. Mire esos vectores y calcule el volumen del paralelepípedo con construido a partir de estos vectores de imagen. Ese volumen es el determinante de la matriz.

Si es cero, eso significa que el paralelepípedo está degenerado, “aplanado”, los vectores de imagen no son linealmente independientes. Si es uno, eso significa que el mapeo lineal conserva los volúmenes. Si son dos, duplica los volúmenes, y así sucesivamente.

Answer 3

En una matriz nxn, el determinante es el hipervolumen comprendido por los n vectores, por lo tanto, cuando se puede obtener uno de los vectores a partir de una combinación de los otros, falta una dimensión. Pongamos n = 3, un valor cero del determinante significa que los tres vectores son coplanares.

Answer 4

He mostrado la derivación de la regla de Cramer del método de eliminación de Gauss y la mostré en un video aquí.

También he demostrado que los números en matrices tienen un significado físico usando un experimento con un vaso de agua. Este experimento y el método de eliminación de Gauss como parte de los cálculos del experimento también se colocan como un video en youtube.

Vinayak

Answer 5

Piensa según devi bhagwat puraan de origen indio de Vedas

Se dice que todo este universo es yoni o matriz o matriz o matra o mapeo o referencia medida de esa madre omnipresente llamada paramba o bhagwati que sostiene este universo como matriz o matriz, en el que toda la existencia aparece o desaparece de vez en cuando.

Por lo tanto, consideramos que no podemos desaparecer, sino tomar formas de diferentes jeevo yonies como si la energía no se destruyera, sino que cambia sus formas o formas

Entonces, la matriz de este universo tiene un valor cero como determinante porque, en última instancia, el proceso de este universo es uno a uno y uno a todos también

En última instancia, todas las cosas se vuelven cero como resultado de naturalezas opuestas a las situaciones de equilibrio establecidas para la estabilidad o la existencia de la naturaleza misma.