¿Tal vez estás hablando de productos internos? Estas son la generalización natural de un “producto de punto”.
La razón por la que esto es algo útil es que muchas cantidades importantes en ciencias y matemáticas están de hecho relacionadas directa o indirectamente con un producto interno de algún tipo (no necesariamente el producto de puntos estándar). Las propiedades que tienen los productos de puntos se generalizan naturalmente a este tipo de situaciones. Por lo tanto, en lugar de abordar cada situación única una y otra vez como si fuera algo completamente nuevo, definimos todas las propiedades clave que tienen en común y trabajamos con ellas en general.
Digamos, por ejemplo, que sus vectores representan polinomios (cada entrada es un coeficiente en un polinomio), entonces el “producto punto” de dos vectores es algo difícil de interpretar, ¿qué significa? ¿Qué pasa si es grande? ¿Puede decirnos algo sobre la relación entre los dos polinomios en los que lo usamos? ¿Qué pasa si es pequeño? En este caso, resulta que la forma más natural de definir un “producto de puntos” es la integral del producto de sus dos polinomios. Esto satisface todos los axiomas. Como usted dice, toma dos vectores y devuelve un escalar como un producto de punto, pero no es exactamente el “producto de punto”. Además, es independiente de las coordenadas, a la integral no le importa cómo expresas tus polinomios. Puede expresarlos con expansión chebyshev, por interpolación o por expansión de coeficiente en monomios, la integral siempre será la misma. Por lo tanto, es “marco independiente”
Si sus vectores representan vectores geométricos estándar, entonces el producto punto tiene sentido. Sin embargo, a veces representan algo más, y puede haber una gran variedad de formas de combinarlos para hacer un escalar que puede ser significativo y útil.
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