Álgebra lineal: para la inversión de matriz, ¿cuándo debería preferirse la descomposición de LU sobre la inversión usando pseudoinverso (por SVD)?

Answer 1

Normalmente no necesita / desea obtener el inverso de una matriz, porque es costoso y muchas veces innecesario.
La descomposición de LU se puede usar con la necesaria para resolver un problema con muchos lados derechos. Esta situación a menudo surge cuando se resuelven PDE utilizando el método de diferencias finitas.

Es importante recordar que la descomposición LU solo se puede aplicar a matrices cuadradas, sin embargo, la descomposición SVD se puede aplicar directamente a una matriz rectangular.

Esta característica puede ser ventajosa, por ejemplo, al resolver problemas de mínimos cuadrados. Si usa la descomposición LU, deberá formar el producto [math] \ text {A} ^ {T} \ text {A} [/ math] que es muy indeseable porque es costoso y aumenta el número de condición (cuadrado de el número de condición original), en la práctica en este caso es más eficiente realizar la descomposición QR en lugar de la descomposición LU.

Otra característica de interés de la SVD es la obtención del pseudo inverso. Básicamente eliminas la influencia de los pequeños valores singulares. Este truncamiento regulariza (matemáticamente cuando usa el SVD para resolver problemas de mínimos cuadrados, está obteniendo una solución de norma mínima) la solución obtenida. Esto es muy importante cuando se resuelven problemas de mínimos cuadrados mal condicionados.

Answer 2

Si está resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, la descomposición de LU es muy buena porque solo necesita resolver un par de sistemas dados por matrices triangulares. SVD no tiene esa ventaja.

Answer 3

El SVD es una forma costosa de resolver un sistema lineal. En general, desearía usar las descomposiciones LU o QR, dependiendo de su problema, aunque depende de qué tan grande sea, el condicionamiento del problema y con qué frecuencia necesita resolver ese sistema.

Answer 4

La ventaja de la SVD es la estabilidad. Los sistemas inherentemente mal acondicionados aguantan esto y puedo usar la SVD para regularizar el sistema. También hay formas de reducir la complejidad del tiempo de la SVD utilizando métodos aleatorios y paralelos, o si sus operadores son matrices de Fourier, es el tiempo de registro.