Tomé su pregunta como “¿cómo pruebo que una función (cualquier función) es lineal?” (si no fuera así, la pregunta en realidad no tendría sentido: las propiedades que enumeró son la definición de una función lineal). De hecho, depende de la función, pero en principio solo tiene que demostrar que el “resultado” (es decir, la imagen del vector a través de [math] f [/ math]) de la función satisface esas propiedades. Creo que esto se explica mejor a través de un ejemplo. Consideremos los dos espacios vectoriales [math] V = (\ mathbb {R}, +, \ cdot, \ mathbb {R}) [/ math] y [math] W = (\ mathbb {R} ^ {3}, +, \ cdot, \ mathbb {R}) [/ math] (donde las dos operaciones en los espacios vectoriales se definen como de costumbre) y una función [math] f: V \ rightarrow W [/ math] definida por [math] (x) \ rightarrow (2x, 3x, -3x) [/ math]. Ahora, sabe que para que esa función sea lineal tiene que satisfacer las propiedades que enumeró. Vamos a ver si esa función lo hace.
[matemáticas]
f (x + y) = \ begin {bmatrix} 2 (x + y) \\ 3 (x + y) \\ -3 (x + y) \ end {bmatrix} [/ math] [math] = \ begin {bmatrix} 2x + 2y \\ 3x + 3y \\ -3x-3y \ end {bmatrix} = [/ math] [math] \ begin {bmatrix} 2x \\ 3x \\ -3x \ end {bmatrix} [/ matemáticas] [matemáticas] + \ begin {bmatrix} 2y \\ 3y \\ -3y \ end {bmatrix} = f (x) + f (y) [/ math]
[matemáticas] \ para todos x, y \ en V [/ matemáticas]
Entonces satisface la primera propiedad. Vamos a ver el segundo:
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[matemáticas] f (\ lambda x) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ begin {bmatrix} 2 (\ lambda x)
\\ 3 (\ lambda x)
\\ -3 (\ lambda x)
\ end {bmatrix} = [/ math] [math] \ lambda \ begin {bmatrix} 2x
\\ 3x
\\ -3x
\ end {bmatrix} = [/ math] [math] \ lambda f (x) [/ math]
[matemáticas] \ forall x \ en V, \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R} [/ math]
Por lo tanto, satisface la segunda propiedad, por lo tanto, la función es lineal. Este fue un ejemplo trivial, pero debería ser suficiente para hacerle comprender cuál es el principio general de la prueba.