¿Cómo puede demostrar que este espacio vectorial es linealmente independiente?

Answer 1

Esta prueba es una implicación doble de la forma [math] p \ Leftrightarrow q [/ math] que es [math] \ equiv \ neg p \ Leftrightarrow \ neg q [/ math]. Por lo tanto, demostremos la segunda proposición equivalente.
Deje que [math] V [/ math] sea un espacio vectorial y [math] v_1, v_2 …… v_n \ in V [/ math] y una transformación lineal invertible [math] T: V \ rightarrow V [/ math]. Deje que este espacio vectorial esté sobre un campo arbitrario [matemática] F [/ matemática]

Probemos el [math] \ neg q \ rightarrow \ neg p [/ math]:
Deje que [math] \ exista c_1, …… c_n \ en F [/ math] de modo que no todos sean cero y [math] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ n c_iT (v_i) = 0 [/ math] .
Como [math] T [/ math] es una transformación lineal, [math] T (\ sum_ {i = 0} ^ n c_iv_i) = 0 [/ math].
Como T es un mapa invertible, es inyectivo.
[matemáticas] T (\ sum_ {i = 0} ^ n c_iv_i) = T (0) [/ matemáticas]. (T (0) = 0 para cualquier transformación lineal)
Debido a la naturaleza inyectiva de [matemáticas] T [/ matemáticas],
[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ n c_iv_i = 0 [/ matemáticas]. Como no todos los [math] c_i [/ ​​math] son ​​ceros, [math] \ {v_1,… ..v_n \} [/ math] es un conjunto linealmente dependiente. Esto prueba [matemáticas] \ neg q \ rightarrow \ neg p [/ matemáticas]

Te animo a que pruebes las [matemáticas] \ neg p \ rightarrow \ neg q [/ matemáticas]

Answer 2

1. ¿Qué significa que los vectores sean linealmente independientes (o linealmente dependientes)?
2. Una vez que conteste 1, aplique T (¿a qué?)
3. ¿Qué observa después de aplicar T?
4. ¿Puedes revertir el proceso para probar la otra implicación?

Esta pregunta es simplemente probar su comprensión básica de la dependencia lineal y la transformación lineal.

Answer 3

Esto se parece a la tarea. Por favor hazlo tu mismo. Hay muchos cursos para ayudarlo en línea. Prueba el álgebra lineal de Gilbert Strang (conferencias de Gilbert Strang sobre álgebra lineal (MIT)). Es bastante bueno y fácil de entender. Al final valdrá la pena.

Consejo: ¡la clase 9 te ayudará! 🙂

Answer 4

Diré algo similar a David, solo que puedes usar la contradicción como una pista.