¿Cuál es la mejor [matemática] X [/ matemática] que minimiza [matemática] \ left \ Vert S ^ {- 1} y \ right \ Vert _ {2} [/ math] para cualquier vector real [matemática] y [ / math] donde [math] S = AA ^ {T} + XX ^ {T} -AB ^ {T} \ left (BB ^ {T} \ right) ^ {- 1} BA ^ {T} [/ math ]?

Answer 1

Esto es, en esencia, un problema de norma mínima . La solución al problema de la norma mínima.

[matemática] \ displaystyle \ hat {u} = \ underset {\ mathcal {A} (u) = b} \ arg \ min || u || _2 [/ math]

es

[math] \ displaystyle \ hat {u} = \ mathcal {A} ^ T (\ mathcal {A} \ mathcal {A} ^ T) ^ {- 1} b [/ math]

(Verifique la página 9 de [1] para comprobar este resultado)

Para su problema

[matemáticas] X = S ^ T (SS ^ T) ^ {- 1} y [/ matemáticas]

El operador [matemática] S [/ matemática] es simétrica, o que [matemática] S = S ^ T [/ matemática]. Entonces necesitas evaluar

[matemáticas] X = S (S ^ 2) ^ {- 1} y [/ matemáticas]

Eso debería hacerlo por ti. Lo que no estoy seguro es si tiene [matemáticas] X [/ matemáticas] en su expresión para [matemáticas] S [/ matemáticas], ya que [matemáticas] X [/ matemáticas] es lo que necesita averiguar.

[1] http://www.seas.ucla.edu/~vanden…

Answer 2

No hay una “mejor” X. Si tiene alguna X que genera S ^ -1, siempre puede construir una X tal que S ^ -1 sea 1/2 veces la S ^ -1 original