¿Cómo resuelvo (aproximadamente) una matriz tridiagonal donde las 3 diagonales son unas?

Deje que la matriz tridiagonal [matemática] T_n [/ matemática] con todas las entradas tridiagonales iguales a 1 sea de tamaño [matemática] n \ veces n [/ matemática]. Considera la secuencia

[matemáticas] 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, \ ldots [/ matemáticas]

El término [math] (k + 1) ^ {th} [/ math] de la secuencia anterior es el determinante de [math] T_k [/ math]. Esto significa que si [math] k = 2, 5, 8, 11, \ ldots [/ math], el determinante de [math] T_n [/ math] es cero y, por lo tanto, la ecuación simultánea subyacente no tiene una solución única – O tiene una cantidad infinita de soluciones, o no tiene ninguna solución.

Esto se puede demostrar de la siguiente manera. El determinante de [matemáticas] T_1 [/ matemáticas] es [matemáticas] d_1 = 1 [/ matemáticas], y el determinante de [matemáticas] T_2 = \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] es [math] d_2 = 0 [/ math]. El determinante de [math] T_k [/ math] para [math] k \ geq 2 [/ math] es igual a [math] d_ {k-1} -d_ {k-2} [/ math] al evaluar el determinante como siempre, usando la primera fila de [math] T_k [/ math]. Por lo tanto, la secuencia anterior sigue.

Entonces, [math] d_j [/ math] sea igual al término [math] (j + 1) ^ {th} [/ math] de la secuencia anterior. Suponemos que [math] n \ ne 3k-1 [/ math] para algún número entero positivo [math] k [/ math], de modo que la matriz [math] T_n [/ math] tiene un inverso [math] T_n ^ { -1} [/ matemáticas]. Se puede demostrar que cuando [math] i \ leq j [/ math], la entrada [math] ij ^ {th} [/ math] de [math] T_n ^ {- 1} [/ math] es igual a

[matemática] r_ {ij} = (- 1) ^ {i + j} \ frac {d_ {i-1} d_ {nj}} {d_n} [/ matemática] (ver matriz tridiagonal)

y si [matemática] i> j [/ matemática], entonces [matemática] r_ {ij} = r_ {ji} [/ matemática], ya que [matemática] T_n [/ matemática] es simétrica (y por lo tanto es [matemática] T_n ^ {- 1} [/ matemáticas]).

Por lo tanto, para resolver la ecuación general [math] T_n x = c [/ math], donde [math] x = \ begin {pmatrix} x_1 & x_2 & \ cdots & x_n \ end {pmatrix} ^ \ mathsf {T} [ / math] y [math] c = \ begin {pmatrix} c_1 & c_2 & \ cdots & c_n \ end {pmatrix} ^ \ mathsf {T} [/ math], luego

[matemática] x_i = \ sum_ {j = 1} ^ n r_ {ij} c_j [/ matemática] para todos [matemática] i = 1,2, \ ldots, n [/ matemática].

Demos un ejemplo. Supongamos que tenemos

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 0 y 0 \\ 1 y 1 y 1 y 0 \\ 0 y 1 y 1 y 1 \\ 0 y 0 y 1 y 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix} [/ math]

Esta es una matriz [matemática] 4 \ veces 4 [/ matemática], por lo que su determinante existe. Por lo tanto, utilizamos los primeros 5 términos de la secuencia anterior, de modo que [matemática] d_0 = 1, d_1 = 1, d_2 = 0, d_3 = -1, d_4 = -1 [/ matemática].

Construimos los valores [math] r_ {ij} [/ math] para [math] i = 1,2,3,4 [/ math] y [math] j = 1,2,3,4 [/ math].

[matemáticas] r_ {11} = (- 1) ^ {1 + 1} \ frac {d_0d_3} {d_4} = (1) \ frac {1 (-1)} {(- 1)} = 1 [/ matemáticas ]
[matemáticas] r_ {12} = r_ {21} = (- 1) ^ {1 + 2} \ frac {d_0d_2} {d_4} = (- 1) \ frac {1 (0)} {(- 1)} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_ {13} = r_ {31} = (- 1) ^ {1 + 3} \ frac {d_0d_1} {d_4} = (1) \ frac {1 (1)} {(- 1)} = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_ {14} = r_ {41} = (- 1) ^ {1 + 4} \ frac {d_0d_0} {d_4} = (- 1) \ frac {1 (1)} {(- 1)} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_ {22} = (- 1) ^ {2 + 2} \ frac {d_1d_2} {d_4} = (1) \ frac {1 (0)} {(- 1)} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_ {23} = r_ {32} = (- 1) ^ {2 + 3} \ frac {d_1d_1} {d_4} = (- 1) \ frac {1 (1)} {(- 1)} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_ {24} = r_ {42} = (- 1) ^ {2 + 4} \ frac {d_1d_0} {d_4} = (1) \ frac {1 (1)} {(- 1)} = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_ {33} = (- 1) ^ {3 + 3} \ frac {d_2d_2} {d_4} = (1) \ frac {0 (0)} {(- 1)} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_ {34} = r_ {43} = (- 1) ^ {3 + 4} \ frac {d_2d_1} {d_4} = (- 1) \ frac {0 (1)} {(- 1)} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_ {44} = (- 1) ^ {4 + 4} \ frac {d_3d_1} {d_4} = (1) \ frac {(- 1) (1)} {(- 1)} = 1 [ /matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] x_1 = r_ {11} c_1 + r_ {12} c_2 + r_ {13} c_3 + r_ {14} c_4 = 2. [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 = r_ {21} c_1 + r_ {22} c_2 + r_ {23} c_3 + r_ {24} c_4 = -1. [/ matemáticas]
[matemáticas] x_3 = r_ {31} c_1 + r_ {32} c_2 + r_ {33} c_3 + r_ {34} c_4 = 1. [/ matemáticas]
[matemáticas] x_4 = r_ {41} c_1 + r_ {42} c_2 + r_ {43} c_3 + r_ {44} c_4 = 3. [/ matemáticas]