¿Qué significan realmente los productos de puntos y vectores cruzados?

Answer 1

Cuando se nos dan dos números reales, podemos combinar de diferentes maneras para obtener un nuevo número: por ejemplo, suma, multiplicación, exponenciación.

Cuando se nos dan 2 números complejos, podemos combinar de diferentes maneras para obtener un nuevo resultado.
por ejemplo, suma (a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d) j
multiplicación (a + bj) * (c + dj) = (ac-bd) + (ad + bc) j
¿Ahora quizás podamos multiplicar componentes individuales y sumar?
(a + bj) # (c + dj) = ac + bd
(De aquí en adelante, uso # como símbolo para alguna nueva operación)
Hmmm, llamémoslo producto directo de números complejos.

Cuando se nos dan 2 vectores, podemos combinar de diferentes maneras para obtener un nuevo resultado.
Representemos vectores en el espacio 3D, y (a medida que usamos j = sqrt (-1) en el eje y) usemos I, J, K como componentes en los ejes x, y, z.
Podemos agregar: (aI + bJ + cK) + (AI + BJ + CK) = (a + A) I + (b + B) J + (c + C) K
Esto tiene una interpretación física (por ejemplo, como la suma de fuerzas)

¿Quizás podamos multiplicar componentes individuales y sumar?
(aI + bJ + cK) # (AI + BJ + CK) = aA + bB + cC
Esto da un resultado escalar y usamos “.” para el operador #, por lo que podemos referirnos a esto como Producto Dot o Producto Escalar .
Tiene muchas interpretaciones físicas:
El trabajo mecánico y el flujo magnético involucran al Producto Dot.

¿Quizás podamos multiplicar como álgebra normal?
(aI + bJ + cK) # (AI + BJ + CK) = aIAI + aIBJ + aICK +. . +. + cKCK.
Ahora solo tenemos que definir lo que queremos decir con IJ, JK, etc. y simplificar.
Entonces tomemos IJ = K, JI = -K, JJ = 0 etc.
Después de la simplificación, esto da un resultado vectorial y usamos “x” para el operador #, por lo que podemos referirnos a esto como Producto cruzado o Producto vectorial .
Tiene muchas interpretaciones físicas:
El momento de una fuerza, la fuerza de Lorentz, el par y el momento angular implican Producto Cruzado.

–

Referencias
Acerca de los vectores: http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector
Acerca del producto Dot: http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
Acerca del producto cruzado: http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
Acerca de las formas de combinar 3 vectores: http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

–

Answer 2

Me gusta pensar sobre el punto y el producto cruzado geométricamente.

Producto cruzado

Si tiene dos vectores [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] (suponga su índice y dedo medio) que ambos “comienzan” en el mismo punto. Haga otra copia de [matemáticas] A [/ matemáticas] que comience al final de [matemáticas] B [/ matemáticas], y otra copia de [matemáticas] B [/ matemáticas] que comience al final de [matemáticas] A [ /matemáticas]. ¿Qué tienes? Un paralelogramo (o, si los vectores estuvieran en línea recta, solo tiene una línea recta).

El área de este paralelogramo es la longitud del producto cruzado.

Por supuesto, si están en línea recta, el área es cero .

¿Cuál es la dirección del producto cruzado? Es solo la dirección que forma un ángulo recto con ambos vectores; es la dirección que apunta tu pulgar. Podemos decir que [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] se encuentran en un plano, y [matemática] A \ veces B [/ matemática] es normal en el plano.

Hay un pequeño tecnicismo. El producto cruzado de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] no es exactamente el mismo que el cruce de [matemáticas] B [/ matemáticas] y [matemáticas] A [/ matemáticas]. Si su dedo índice es [matemático] B [/ matemático] y su medio [matemático] A [/ matemático], entonces la dirección del producto cruzado, su pulgar, es hacia abajo . En otras palabras, [matemáticas] B \ veces A = – (A \ veces B) [/ matemáticas]. Su longitud sigue siendo el área del paralelogramo que abarcan A y B, pero su dirección es todo lo contrario.

Producto de punto

El producto punto es otra forma de combinar dos vectores de manera significativa. Pero en lugar de dar como resultado otro vector, da como resultado solo un número, un escalar .

El producto punto tiene que ver con un concepto llamado proyección. Supongamos que tenemos un vector [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] con posiciones coincidentes, y [matemática] B [/ matemática] es un vector unitario, un vector de longitud uno. Si el sol está apuntando hacia B, entonces, ¿cuánto dura la sombra proyectada por A? Esta sombra es la proyección de [matemáticas] A [/ matemáticas] en [matemáticas] B [/ matemáticas]. La longitud de esta sombra es exactamente el producto de punto: [matemática] A \ cdot B [/ matemática].

Usando un poco de trigonometría, si el ángulo entre los vectores es [matemática] \ theta [/ matemática], entonces la longitud de la sombra proyectada es [matemática] \ vert A \ vert \ cos \ theta [/ matemática].

Sin embargo, ¿qué sucede si [math] B [/ math] no es un vector unitario? Simple: todavía encontramos la longitud de la sombra, pero multiplicamos esa longitud por la longitud de [math] B [/ math]. En otras palabras, el producto escalar de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] es la longitud de la sombra de [matemáticas] A [/ matemáticas] proyectada en [matemáticas] B [/ matemáticas] , multiplicado por la longitud de [math] B [/ math]. Esto se escribe matemáticamente como [matemáticas] A \ cdot B = \ vert A \ vert \ vert B \ vert \ cos \ theta [/ math].

Answer 3

producto punto : significa producto escalador entre dos vectores. Supongamos que tengo dos vectores A y B, entonces

AB = | A || B | cos (theta)

Significa la proyección de A en B y le da al valor no vectorial solo la magnitud. Entonces, el producto punto de dos vectores le da un escalador que solo tiene una magnitud, no una dirección.

Ahora te daré un ejemplo que explicará claramente la importancia del producto Scaler. Si tienes un bloque de 10 kg y estás aplicando una fuerza de 20 N en una dirección de 30 grados, la pregunta es averiguar el trabajo. entonces el trabajo debe ser la dirección del desplazamiento, entonces tomarás el componente horizontal de F que es F * cos (theta) y lo multiplicarás por el desplazamiento, entonces obtendrás un trabajo.

aquí has ​​hecho un producto escalador entre fuerza y ​​desplazamiento.

Answer 4

Producto de punto

El producto de puntos proporciona la orientación relativa de dos vectores en un espacio bidimensional.

Como puede ver en la figura anterior, si ambos vectores están normalizados , obtendrá la orientación relativa de los dos vectores.

Producto cruzado

El producto cruzado da la orientación del plano descrito por dos vectores en un espacio tridimensional.

Considere la figura de arriba. En el espacio bidimensional, el vector A apunta hacia el este y el vector B apunta hacia el noreste. Una vez que haya establecido sus direcciones de referencia (Norte, Sur, Este, Oeste), no hay confusión con respecto a su orientación.

Ahora considere la misma figura observada en el espacio tridimensional. Para alguien que observa los vectores desde arriba del plano, el vector B apunta hacia el noreste, pero para alguien que observa los vectores desde abajo del plano, el vector B apunta hacia el sudeste.

En otras palabras, cuando especifica la ubicación de un objeto bidimensional en un espacio tridimensional, debe especificar la dirección del observador .

Este es el propósito del producto cruzado. Hace esto por:

1. Asociar la dirección del observador con la dirección del vector del producto cruzado.

2. Al definir las direcciones izquierda / derecha / derecha / antihoraria para este observador.

Aquí es donde entran las reglas de la mano derecha y la mano izquierda.

Los dedos de la mano derecha, siempre se curvan en sentido antihorario , cuando se ven en la dirección del pulgar. Los dedos de la mano izquierda siempre se curvan en sentido horario cuando se ven en la dirección del pulgar.

Entonces, al especificar la dirección del pulgar , especifica la dirección del observador y, por lo tanto, descarta cualquier confusión sobre las direcciones izquierda / derecha / en sentido horario / antihorario.

La razón por la que el producto cruzado puede hacer esto es porque el seno es una función extraña y la dirección en la que se mide el ángulo, en sentido horario o antihorario, afecta el signo de la función.

Usted sabe que la orientación de un plano se puede especificar por su normalidad . El producto cruzado es un tipo específico de normalidad que pasa a través del eje que conecta los dos vectores.

Answer 5

Tanto un punto como un producto cruzado se escalan según la magnitud de los vectores que se multiplican, lo que significa que [matemáticas] \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = | \ vec {a} || \ vec {b} | ( \ hat {a} \ cdot \ hat {b}), \ vec {a} \ times \ vec {b} = | \ vec {a} || \ vec {b} | (\ hat {a} \ times \ hat {b}) [/ math], por lo que tiene sentido hablar solo de productos punto y cruz de vectores unitarios.

Un producto de punto se trata de medir qué tan paralelos son dos vectores. Si dos vectores unitarios son paralelos, su producto punto es 1; si dos vectores unitarios son antiparalelos, su producto punto es -1. Si son perpendiculares, su producto de punto es 0. Formalmente, su producto de punto es el coseno del ángulo entre ellos.

Un producto cruzado se trata más de definir el plano en el que se encuentran dos vectores. Su magnitud es el área del paralelogramo que forman los dos vectores, y su dirección es perpendicular a ese paralelogramo. El paralelogramo está “orientado”, de modo que cambiar los vectores que lo definen efectivamente lo voltea. Es por eso que [math] \ vec {a} \ times \ vec {b} = – \ vec {b} \ times \ vec {a} [/ math]. Esa área es igual (con vectores unitarios) al seno del ángulo entre los vectores.

Los productos cruzados solo existen en 3 dimensiones porque (casualmente) solo hay tres planos diferentes que se pueden elegir por pares de vectores de bases ortogonales (el plano [matemático] xy [/ matemático], el [matemático] yz [/ matemático] – plano y el [math] zx [/ math] -plane). Estos planos, o más bien los vectores unitarios perpendiculares a ellos, pueden formar una base para productos cruzados. En 2 dimensiones, solo hay un plano, y no hay vectores perpendiculares a él; y en 4 (o más) dimensiones hay seis (o más) planos base, y cada plano tiene un número infinito de vectores unitarios perpendiculares a ellos.

Algunas alternativas a las matemáticas vectoriales estándar utilizan un “producto de cuña”, [matemática] \ vec {a} \ wedge \ vec {b} [/ matemática] en lugar de un producto cruzado para el mismo propósito, pero no identifica un Producto de cuña con un vector. Si bien puede decir [math] \ hat {x} \ times \ hat {y} = \ hat {z} [/ math], no puede decir [math] \ hat {x} \ wedge \ hat {y} = \ hat {z} [/ math]. Los productos de cuña (y el resto de las matemáticas que vienen con ellos) funcionan en cualquier cantidad de dimensiones y se pueden usar de la misma manera que los productos cruzados para representar rotaciones y nociones similares.

Answer 6

Primero, sobre el producto punto. El resultado, en el caso de un producto escalar siempre es escalar, es decir, tiene magnitud pero no dirección. Por ejemplo, trabajo = fuerza.distancia
La magnitud del trabajo realizado en este caso es | force cos (fi) * distance |, donde fi es el ángulo que la fuerza hace con el suelo, o digamos el eje x convencionalmente.

Producto cruzado de dos vectores, da como resultado un vector con magnitud y dirección.
El producto cruzado viene dado por a x b = | a || b | sin (fi) n donde, fi es el ángulo entre los vectores ayb, yn es la dirección. La dirección, n es siempre perpendicular al plano que contiene ayb . De la figura anterior, y la expresión
fuerza = q (velocidad x campo magnético), q es la carga de la partícula en movimiento.
si suponemos que el campo magnético está en la dirección z positiva (k) y la velocidad en la dirección x positiva (i), la fuerza ejercida por la partícula cargada se puede suponer en la dirección negativa y (-j) (piense en la mano derecha regla).

Answer 7

Considere dos vectores [math] \ vec {A} [/ math] y [math] \ vec {B} [/ math].

El operador [math] \ cdot [/ math] siempre da un escalar cuando se opera en dos vectores.

Un ejemplo podría ser [math] \ vec {A} \ cdot \ hat B. [/ Math] Este producto punto representa la magnitud del vector [math] \ vec {A} [/ math] en la dirección de [math] \ vec {B} [/ matemáticas].

Ahora considere el producto cruzado, [math] \ vec {A} \ times \ vec {B} [/ math].

El producto cruzado da un nuevo vector que es perpendicular a los vectores [math] \ vec {A} [/ math] y [math] \ vec {B}. [/ Math]

Deje [math] \ vec {C} = \ vec {A} \ times \ vec {B} [/ math].

La magnitud de [math] \ vec {C} [/ math] es [math] \ vec {A} \ vec {B} \ sin \ theta. [/ Math] Aquí [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre [matemáticas] \ vec {A} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ vec {B}. [/ matemáticas]

La magnitud del producto cruzado, [math] \ vec {A} \ times \ vec {B} [/ math] representa el área del paralelogramo con lados [math] A [/ math] y [math] B [/ math].

Answer 8

Cuando dos vectores atraviesan el producto de puntos, resultan en una escala y cuando dos vectores atraviesan el producto cruzado, el resultado sigue siendo un vector.

En el caso de un producto de punto, tome el ejemplo de W = FD Cos (theta)
el ángulo theta aquí indica que la cantidad de fuerza es realmente responsable de la distancia D que recorre el cuerpo. Es una especie de proyección de un vector en el otro y el resultado es un escalor.

Answer 9

Esta pregunta se responde maravillosamente en este video.

Para series completas: Esencia de álgebra lineal. 3 azul 1 marrón.

Answer 10

De Buddha Buck:

Un producto de punto se trata de medir qué tan paralelos son dos vectores.

Un producto cruzado se trata de definir el plano en el que se encuentran.