Álgebra lineal: ¿Por qué, para invertir o transponer un producto de matrices, uno tiene que invertir el orden de multiplicación?

Answer 1

En el video, explica la propiedad de inversas en los primeros minutos, pero aquí hay algunos comentarios:

Supongamos que tiene un producto matriz AB. Ahora desea lo inverso de eso (suponga que A, B son invertibles). Entonces, desea una matriz C tal que [math] (AB) (C) = I [/ math].

Ahora la multiplicación de matrices es asociativa , es decir: [matemáticas] (AB) C = A (BC) [/ matemáticas], pero no es conmutativa , es decir [matemáticas] (AB) C = C (AB) [/ matemáticas] No es necesariamente cierto. Entonces, si acabamos de adivinar que [matemática] C = A ^ {- 1} B ^ {- 1} [/ matemática], entonces podemos intentar verificar:
[matemáticas] (AB) (A ^ {- 1} B ^ {- 1}) [/ matemáticas] pero ahora estamos estancados, porque [matemáticas] BA ^ {- 1} [/ matemáticas] podría ser cualquier cosa.

PERO si invertimos las inversas de A y B: [matemáticas] C = B ^ {- 1} A ^ {- 1} [/ matemáticas], entonces tenemos:
[matemáticas] (AB) (B ^ {- 1} A ^ {- 1}) [/ matemáticas] y por la propiedad asociativa,
[matemáticas] A (BB ^ {- 1}) A ^ {- 1} = AIA ^ {- 1} = AA ^ {- 1} = I [/ matemáticas] y entonces esta es la C correcta y hemos terminado.

Ahora para las transposiciones, tenemos ese mismo tipo de cosas. Supongamos que tenemos AB. La entrada i- ésima de esa matriz es el producto escalar de la i- ésima fila de A con la columna j- ésima de B. Ahora queremos escribir [math] (AB) ^ T [/ math] en términos de las transposiciones de A y B. Entonces, la entrada i- ésima de [math] (AB) ^ T [/ math] es la misma que la entrada i -ésima de AB. Por lo tanto, queremos el producto escalar de la fila j de A con la columna i de B. Ahora, la fila j de A es la columna j de [matemáticas] A ^ T [/ matemáticas] y la columna i. de B es la i- ésima fila de [matemáticas] B ^ T [/ matemáticas]. Entonces, si multiplicamos [matemáticas] B ^ TA ^ T [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] (AB) ^ T [/ matemáticas].