¿Podemos comparar matrices? Si AB> 0 es positivo definido, ¿podemos decir A> B?

Answer 1

Sí, vea la respuesta de Justin Rising a ¿Qué queremos decir con una matriz definida positiva o negativa? ¿Tiene alguna analogía con un número real positivo? para la definición Este tipo de desigualdades tienen aplicaciones en la programación semidefinida, que es un tema candente en la teoría de la optimización en este momento.

Editar: Dado que aparece en un par de otras respuestas, permítanme abordar el orden de entrada en el conjunto de matrices simétricas [matemáticas] n \ veces n [/ matemáticas]. Este es un pedido legítimo en este conjunto de matrices, que va un poco más allá de decir que es un pedido parcial. Sin embargo, la razón por la que no la usamos es porque una matriz no es realmente una matriz de números; en realidad es una representación de un operador lineal, y queremos algo que juegue muy bien con la estructura adicional que eso implica. El orden de entrada captura todo lo que nos interesa sobre los vectores, y ese es el orden que usamos en general.

Desafortunadamente, Wikipedia no tiene un buen artículo sobre desigualdades generalizadas y conos adecuados. Si desea consultar algunos de los detalles, consulte la Sección 2.4 de Boyd y Vandenberghe.

Edición 2: el orden de entrada funciona muy bien con el producto Hadamard, pero las matrices bajo la adición de entrada y el producto Hadamard realmente no forman una estructura algebraica interesante, por lo que tendemos a ignorarlo.

Answer 2

La sintaxis A> B no tiene sentido. Podría intentar definirlo como significado AB> 0, es decir, que el valor propio más pequeño de A – el valor propio más grande de B es positivo, pero no veo el punto de hacer tal definición.

Answer 3

Puede crear una relación de orden parcial por A

Answer 4

A> B si A es del mismo tamaño que B y cada elemento de A es mayor que el elemento correspondiente de B. Definiciones similares se aplican a <,> = y <=