Álgebra lineal: ¿Cuál es la intuición detrás de calcular el inverso de una matriz?

Answer 1

Recuerde que una matriz puede descomponerse en un producto de matrices elementales (donde una matriz elemental es una matriz que difiere de la matriz de identidad en una operación de fila) si y solo si es una matriz invertible.

Entonces, [matemática] A [/ matemática] es invertible [matemática] \ Leftrightarrow [/ matemática] existen matrices elementales [matemática] E_ {1}, \ cdots, E_ {m} [/ matemática] tal que [matemática] A = E_ {1} E_ {2} \ cdots E_ {m} [/ math].

Por lo tanto, si buscamos encontrar el inverso de la matriz [matemática] A [/ matemática], podemos hacerlo encontrando [matemática] E_ {m} ^ {- 1}, E_ {m-1} ^ {- 1 }, \ cdots, E_ {1} ^ {- 1} [/ math] y luego multiplicándolos para obtener la matriz [math] E_ {m} ^ {- 1} E_ {m-1} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} [/ math]. Encontrar las matrices elementales [matemáticas] E_ {m} ^ {- 1}, E_ {m-1} ^ {- 1}, \ cdots, E_ {1} ^ {- 1} [/ matemáticas] es fácil: simplemente necesita “deshacer” la operación que se realizó en [math] E_ {m}, E_ {m-1}, \ cdots, E_ {1} [/ math], respectivamente. Entonces, por ejemplo, si cambiamos la primera fila de [matemáticas] I [/ matemáticas] con la segunda fila para obtener una matriz elemental [matemáticas] E [/ matemáticas], para encontrar [matemáticas] E ^ {- 1} [ / math], simplemente necesitamos cambiar la segunda fila de [math] I [/ math] con la primera fila, “deshacer” lo que hizo [math] E [/ math]; Esto se deduce de la intuición de una matriz inversa.

La razón por la que podemos encontrar el inverso de [matemáticas] A [/ matemáticas] al encontrar [matemáticas] E_ {m} ^ {- 1}, E_ {m-1} ^ {- 1}, \ cdots, E_ {1 } ^ {- 1} [/ math] y luego multiplicándolos para obtener la matriz [math] E_ {m} ^ {- 1} E_ {m-1} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} [/ math] se debe a [math] AE_ {m} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} = (E_ {1} \ cdots E_ {m}) E_ {m} ^ { -1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} [/ math] y como [math] E_ {m} E_ {m} ^ {- 1} = I [/ math], podemos simplificar para obtener [math ] AE_ {m} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} = E_ {1} \ cdots E_ {m-1} E_ {m-1} ^ {- 1} \ cdots E_ {1 } ^ {- 1} [/ math] y continuando así, eventualmente vemos que [math] AE_ {m} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} = I [/ math]. Del mismo modo, [matemáticas]
E_ {m} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} A = E_ {m} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} (E_ {1} \ cdots E_ {m}) [/ matemáticas]. Y observando que [matemáticas] E_ {1} ^ {- 1} E_ {1} = I [/ matemáticas], podemos simplificar nuestra expresión a [matemáticas]
E_ {m} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} A = E_ {m} ^ {- 1} \ cdots E_ {2} ^ {- 1} E_ {2} \ cdots E_ { m} [/ matemáticas]. Continuando de esta manera, vemos que [matemáticas]
E_ {m} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} A = I [/ math]

Entonces, en el párrafo anterior, hemos demostrado que [matemáticas] E_ {m} ^ {- 1} \ cdots E_ {1} ^ {- 1} = A ^ {- 1} [/ matemáticas]. Pero lo más importante, hemos visto que cuando tomamos el producto de [matemáticas] A ^ {- 1} [/ matemáticas] con [matemáticas] A [/ matemáticas], cada matriz elemental en la descomposición de [matemáticas] A ^ { -1} [/ math] está “deshaciendo” cada matriz elemental en la descomposición de [math] A [/ math], en orden. (También podríamos haber usado simplemente la propiedad [matemáticas] A = BC \ Rightarrow A ^ {- 1} = B ^ {- 1} C ^ {- 1} [/ matemáticas] pero solo hacer referencia a esta propiedad sin pruebas lo haría más difícil de ver la intuición).

Por lo tanto, podemos encontrar el inverso de [math] A [/ math] simplemente encontrando las operaciones de fila que “deshacen” las operaciones de fila involucradas en la transformación de la matriz de identidad en la matriz A. Cuando configura la matriz [matemática] (A | I) [/ matemática] y luego encuentra la matriz [matemática] (I | A ^ {- 1}) [/ matemática] para obtener la inversa [matemática] A ^ { -1} [/ math], esencialmente está deshaciendo las operaciones de fila utilizadas para hacer [math] A [/ math] de [math] I [/ math] y luego “recordando” el producto de las matrices elementales que consisten en esas filas operaciones en el lado derecho que, como vimos arriba, le da [matemáticas] A ^ {- 1} [/ matemáticas].

Espero haber explicado la intuición detrás de calcular el inverso de una matriz; ¡También espero haber mostrado cómo puedes descubrir la intuición detrás de varias técnicas matemáticas al observar cosas que ya sabías que eran ciertas! 🙂

Answer 2

Considere una matriz [math] m \ times n [/ math] [math] A [/ math]. La matriz [matemática] A [/ matemática] describe un mapeo / transformación lineal [matemática] T: V \ a W [/ matemática] de [matemática] V [/ matemática] a [matemática] W [/ matemática], donde [ matemática] V [/ matemática] y [matemática] W [/ matemática] son ​​algunos espacios vectoriales dimensionales [matemáticos] n [/ matemáticos] y [matemáticos] m [/ matemáticos], respectivamente. Entonces, dado cualquier [matemática] v \ in V [/ matemática], el mapeo / transformación [matemática] T [/ matemática] asigna [matemática] v \ in V [/ matemática] a [matemática] T (v) \ in W [/ matemáticas]. Tenemos [math] T (v) = Av [/ math] para cada [math] v \ en V [/ math]. Si [math] m = n [/ math] y [math] A [/ math] es una matriz invertible, entonces el mapeo lineal [math] T [/ math] se dice que es invertible, denotamos el inverso de [math] ] T [/ math] por [math] T ^ {- 1} [/ math]. Por lo tanto, [math] T ^ {- 1} [/ math] es un mapeo lineal desde el espacio [math] W [/ math] a [math] V [/ math]. En otras palabras, dado cualquier [matemática] w \ en W [/ matemática], [matemática] T ^ {- 1} [/ matemática] asigna [matemática] w \ en W [/ matemática] a [matemática] T ^ { -1} (w) \ en V [/ matemáticas]. Tenemos [matemática] T ^ {- 1} (w) = A ^ {- 1} (w) [/ matemática] para todos [matemática] w \ en W [/ matemática] (Tenga en cuenta que, dado que [matemática] T [/ math] es un mapeo invertible, [math] T [/ math] es inyectivo y sobreyectivo). Por lo tanto, el inverso de una matriz [matemática] A [/ matemática] representa el mapeo lineal inverso. Informalmente, deshace el mapeo realizado por la matriz [matemática] A [/ matemática], por ejemplo si [matemática] A [/ matemática] asigna [matemática] v [/ matemática] a [matemática] w [/ matemática], entonces [math] A ^ {- 1} [/ math] devuelve [math] v [/ math] asignando [math] w [/ math] a [math] v [/ math].

Por ejemplo, deje que [math] B \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n} [/ math] sea una matriz invertible. Entonces [math] B [/ math] describe un mapeo lineal invertible [math] T: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Si [math] x \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math], entonces [math] T (x) = Bx = y \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math] y [math] T ^ {- 1} (y) = B ^ {- 1} (y) = x \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math].

Puede consultar los siguientes artículos para obtener más información sobre asignaciones lineales, espacios vectoriales y matrices invertibles.

Mapa lineal

Espacio vectorial

Matriz invertible

Answer 3

Si [math] Ax = b [/ math] y [math] A [/ math] es invertible, entonces [math] x = A ^ {- 1} b [/ math]. Por lo tanto, encontrar el inverso corresponde a resolver un sistema de ecuaciones lineales cuyos coeficientes están dados por las entradas de [math] A [/ math].

Answer 4

Tenemos una matriz cuadrada invertible arbitraria [matemática] A [/ matemática]. La pregunta es: ¿por qué realizamos las operaciones que solemos realizar para obtener [matemáticas] A ^ {- 1} [/ matemáticas]? ¿Por qué esas operaciones, no otras?

Esencialmente, necesitamos encontrar una matriz [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática] que satisfaga

[matemáticas] A ^ {- 1} A = I. [/ matemáticas]

Si [math] A [/ math] es una matriz [math] n \ times n [/ math], necesitamos encontrar entradas [math] n ^ 2 [/ math] para determinar [math] A ^ {- 1} [/matemáticas]. Sin embargo, la ecuación anterior es en realidad [matemática] n [/ matemática] conjuntos de ecuaciones simultáneas en incógnitas [matemática] n [/ matemática], donde cada conjunto resuelve una fila particular de [matemática] A ^ {- 1} [/ matemáticas].

Pongamos un ejemplo [math] 2 \ times 2 [/ math]. Si [math] A = \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \ end {pmatrix} [/ math], entonces tenemos

[matemáticas] \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 y 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}. [/ Math]

Entonces tenemos los siguientes dos conjuntos de ecuaciones simultáneas en dos incógnitas:

[matemáticas] a + 2b = 1; 2a + 5b = 0 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] c + 2d = 0; 2c + 5d = 1 [/ matemáticas]

Las operaciones que solemos realizar para obtener [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática] (correspondiente a las operaciones de fila elemental) en realidad están resolviendo estos conjuntos [ecuación] n [/ matemática] de ecuaciones simultáneas en [matemática] n [/ matemáticas] incógnitas. Eso es todo lo que están haciendo.

Tenga en cuenta que también podríamos comenzar desde

[matemáticas] AA ^ {- 1} = I [/ matemáticas]

en cuyo caso estaríamos obteniendo [math] A ^ {- 1} [/ math] una columna a la vez, en lugar de una fila a la vez. Esto corresponde a la evaluación de operaciones de columnas elementales.

Answer 5

Paso bastante tiempo trabajando en cómo calcular el inverso de una matriz de 2 x 2 (obviamente, el segundo caso más simple) en:

5 – Amasador tabular

Después de eso me pongo un poco ondulado, pero el principio escala hasta nxn con un poco de creatividad. Creo que el estuche 2 x 2 proporciona la intuición que estás buscando.

Answer 6

Si tengo una ecuación. [matemáticas] ax = b [/ matemáticas]

dado ayb resolver. [matemáticas] x = \ frac {b} {a} [/ matemáticas]

la intuición es que para resolver esto tuvimos que encontrar un inverso para a para obtener la solución a x.

Ahora lo hacemos con matrices. No es una idea loca. El inverso era [matemáticas] \ frac {1} {a} [/ matemáticas]

Las matrices son de dimensiones superiores ahora tenemos que construir una matriz de este tipo, si existe o puede haber una inversa general y puede ser aproximada.

Tal como están sus preguntas, en realidad hay cinco maneras diferentes en que puedo pensar para calcular el inverso, por lo que no hay una intuición.

Bien, puede hacer el pseudo inverso inverso de moore penrose por el SVD, sin embargo, puede hacerlo de 5 maneras diferentes. Puede encontrar el inverso por descomposición QR y descomposición LU. Cada uno de estos puede encontrar a través de múltiples métodos.

La pregunta es cómo es la intuición de hornear un pastel en una boda. La intuición es hacer feliz a la novia. Puedes hacer feliz a la novia de muchas maneras.