¿Qué es una transformación de Lorentz en términos simples?

Answer 1

Trataré de explicar la diferencia entre la transformación de Lorentz de la relatividad especial en comparación con la transformación galileana de la física newtoniana.

En la física newtoniana se suponía que todos los observadores experimentaban el mismo tiempo absoluto y que el espacio era tridimensional y que todos los observadores medirían el mismo tiempo absoluto entre dos eventos y que también medirían siempre la misma distancia tridimensional entre los mismos eventos. . Imagine dos observadores diferentes que tienen dos sistemas de coordenadas diferentes configurados para medir eventos: [matemática] x, y, z, t [/ matemática] y [matemática] x ‘, y’, z ‘, t’ [/ matemática]. Ahora, la relación más general entre estos dos sistemas de coordenadas es que uno podría rotarse en relación con el otro, o que uno podría tener un desplazamiento fijo (traslación) en relación con el otro o que un observador podría moverse en relación con el otro. Si dejamos de lado la rotación y la traslación y solo consideramos el movimiento relativo a lo largo, por ejemplo, del eje x, entonces la forma de traducir de un sistema de coordenadas a otro es la siguiente:

[matemáticas] x ‘= x-vt [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= y [/ matemáticas]
[matemáticas] z ‘= z [/ matemáticas]
[matemáticas] t ‘= t [/ matemáticas]

Esto se llama transformación galileana. Esta transformación aseguraría que la distancia entre dos eventos en el espacio tridimensional será constante. En particular, esa distancia sería la misma para todos los observadores:

[matemáticas] L ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x’_2-x’_1) ^ 2 + (y’_2-y’_1) ^ 2 + (z’_2-z’_1) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora, a fines del siglo XIX, los físicos descubrieron que todos los observadores, sin importar su velocidad relativa, midieron la misma velocidad que la velocidad de la luz. Esto NO es lo que la transformación galileana hubiera predicho. Hubiera dicho que si un observador midiera la velocidad de la luz como “[matemática] c [/ matemática]”, entonces el otro observador habría medido “[matemática] cv [/ matemática]” o “[matemática] c + v [ /matemáticas]”.

Lorentz, Fitzgerald, Einstein y Minkowski se dieron cuenta de que la velocidad de la luz siempre se mediría como “[matemáticas] c [/ matemáticas]” si se realizaran las siguientes transformaciones entre dos observadores con una velocidad relativa de “[matemáticas] v [/matemáticas]”:

[matemáticas] x ‘= \ gamma (x-vt) [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= y [/ matemáticas]
[matemáticas] z ‘= z [/ matemáticas]
[matemáticas] t ‘= \ gamma (t-vx / c ^ 2) [/ matemáticas]
con
[matemáticas] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {(1-v ^ 2 / c ^ 2)}} [/ matemáticas]

Esta es la transformación de Lorentz. Si la velocidad relativa “[matemática] v [/ matemática]” es mucho menor que la velocidad de la luz “[matemática] c [/ matemática]” entonces tendríamos “[matemática] \ gamma \ aprox 1 [/ matemática]” y el término “[matemáticas] vx / c ^ 2 \ aprox 0 [/ matemáticas]” para que esta transformación de Lorentz se convierta en equivalente a la transformación de Galilea. En física, esto es necesario: que la nueva teoría reproduzca los resultados de la vieja teoría en los regímenes donde la antigua teoría era válida.

Lorentz y Fitzgerald, pensaron que esto era un efecto físico debido al movimiento a través del “eather” que era el supuesto medio por el que viajaba la luz. Sin embargo, Einstein y Minkowski se dieron cuenta de que, en cambio, el espacio y el tiempo se mezclaron en un continuo espacio-tiempo de 4 dimensiones donde la simple distancia tridimensional de [matemáticas] L ^ 2 = … [/ matemáticas] fue reemplazada por:

[matemáticas] \ tau ^ 2 = c ^ 2 (t_2-t_1) ^ 2 – (x_2-x_1) ^ 2- (y_2-y_1) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] – (z_2-z_1) ^ 2 [/ matemáticas]

Todos los observadores estarán de acuerdo en los valores de [matemática] \ tau [/ matemática] entre los eventos, incluso si sus valores x, y, zyt fueran bastante diferentes. Esta definición de “distancia” significa que la luz siempre viajó exactamente a la velocidad “[matemática] c [/ matemática]” para todos los observadores y de hecho la luz siempre tiene [matemática] \ tau = 0 [/ matemática]. Hasta donde sé, este era un tipo totalmente nuevo de múltiple de 4 dimensiones que los matemáticos no habían considerado previamente debido a las mezclas de signos “+” y “-” en la métrica de distancia.

Answer 2

Una transformación de Lorentz es una rotación del espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Entonces, imaginemos algunas cosas.

Primero, imagine el espacio-tiempo, dejando de lado la relatividad. Imagine cuatro dimensiones, tres de espacio, una de tiempo. Imagine, digamos, una larga fila de imágenes fijas de una película alineadas para que haya un ligero cambio entre cada una, excepto que cada una sigue siendo el mundo tridimensional completo que captura en lugar de una imagen bidimensional de la misma.

Imagina tu “línea del mundo”. En su marco de referencia, que se mueve con usted, sigue un camino que apunta hacia adelante en el tiempo. Incluso si caminas, todavía estás “hacia ti”, y solo estás viajando en línea recta. Pero las personas que te rodean, y tú, desde la perspectiva de una habitación por la que estás caminando, tienen caminos a través de las cuatro dimensiones del espacio-tiempo que se mueven tanto en el espacio como en el tiempo. Viajan hacia adelante en el tiempo, siempre, no pueden detenerse, pero también tienen un componente de velocidad en el espacio, por lo que todo el vector de “velocidad” está en ángulo entre los ejes espacio y tiempo.

De hecho, esa línea del mundo, la ruta del mundo, si lo desea, es como una curva en el espacio tridimensional, como podría haber visto en el cálculo multivariable. Su “vector tangente unitario” (es decir, su derivada dividida por la magnitud de la derivada) es su velocidad cuatro . Al ser un vector unitario, siempre tiene longitud 1.

Ahora, debería decir, en realidad tiene una longitud [matemática] c [/ matemática], pero en relatividad nos gusta pensar que el espacio y el tiempo son direcciones diferentes en el mismo espacio de cuatro dimensiones (¡espacio de Minkowski!), Así que cambiamos unidades para que se utilicen segundos o metros para los cuatro configurando [math] c = 1 [/ math]. De acuerdo, las distancias que recorres en el tiempo son fenomenalmente enormes en comparación con las distancias en el espacio. Entonces, cuando “no se mueve en el espacio”, en realidad se mueve en el tiempo solo con velocidad [matemática] v = c [/ matemática] o más bien [matemática] v = 1 [/ matemática]. En notación de cuatro vectores, su velocidad de cuatro en su marco de descanso es [matemática] u ^ {\ mu} = (1,0,0,0) [/ matemática]. En números “regulares” es [matemática] u ^ {\ mu} = (c, 0,0,0) [/ matemática].

Ahora invocamos el hecho curioso de que el espacio-tiempo tiene la geometría del espacio de Minkowski; es decir, que es hiperbólico en la dirección del tiempo , es decir, que tiene la firma métrica (1,3) (o (3,1) si lo prefiere, pero creo que (1,3) es más natural). Es decir, la métrica es (+, -, -, -) y el intervalo invariante es [matemáticas] s ^ {2} = t ^ {2} – x ^ {2} – y ^ {2} – z ^ { 2} [/ matemáticas]. Esto provoca una gran cantidad de cosas poco intuitivas. Entre ellos, las cuatro velocidades “normalizadas”, la versión de la unidad, en realidad tiene una magnitud -1, no 1: [matemáticas] u \ cdot u = u ^ {\ mu} u _ {\ mu} = -c ^ {2} = -1 [/ math] (cuando configura [math] c = 1 [/ math]).
Tienes poca o ninguna intuición para el espacio hiperbólico porque, bueno, ¿por qué lo harías? El espacio tridimensional no funciona así.

Bueno. Entonces, la transformación de Lorentz es una rotación . No extiende las velocidades, solo cambia la dirección desde la que las mira. El componente de tiempo se intercambia por el componente de espacio. Entonces, cuando aumenta Lorentz (un aumento es una rotación entre una dirección de espacio y tiempo en lugar de una rotación simple, que es entre espacio y espacio), ve que las velocidades cambian de maneras curiosas para mantener el requisito de que [matemática] u \ cdot u = 1 [/ math]. Porque, después de todo, las rotaciones no deberían cambiar la longitud de los vectores, son solo cambios de perspectiva. Si se impulsa completamente dentro del marco de un objeto en movimiento, su velocidad espacial se convierte en 0 y su velocidad temporal se convierte en 1.

La razón por la que nunca puedes ver que algo vaya más rápido que la luz es porque solo puedes girar completamente en la dirección del espacio . Después de eso, solo está retrocediendo en el tiempo, solo que ahora estaría llamando al tiempo negativo como positivo y viceversa. Por supuesto, probablemente podría interpretar que algo que se mueve hacia atrás en el tiempo se mueve más rápido que la luz, pero ese es un camino peligroso porque descarta nuestra noción de velocidad como “metros por segundo”. Y es por eso que si hubiéramos visto un neutrino ir más rápido que la luz el año pasado, muchas cosas se habrían arruinado realmente. Esto es mucho más que un límite de velocidad cósmica, es la base de cómo funciona todo.

La velocidad no es realmente una buena manera de pensar en las transformaciones de Lorentz porque solo va de 0 a c (o -c a c, si lo prefiere). Para mí tiene mucho más sentido imaginar que “0” no se mueve y que “infinito” se mueve lo más rápido posible, por eso prefiero pensar en términos de la rapidez [matemáticas] \ rho = \ tanh ^ {- 1} \ frac {v} {c} [/ math]. Es el “ángulo hiperbólico”, y convierte los aumentos de Lorentz en ecuaciones que se parecen mucho a las rotaciones a las que estamos acostumbrados en tres dimensiones. Vea Rapidez para ver un ejemplo, porque es demasiado trabajo escribir en el horrible editor de Quora en este momento. Es suficiente decir que es mucho más intuitivo: es aditivo , a diferencia de las velocidades, llega al infinito para el ángulo / velocidad “máximo”, y es proporcional a la velocidad para velocidades muy pequeñas donde se pueden descontar los efectos relativistas. En algún lugar tengo, por diversión, algunas páginas escritas sobre el uso de la rapidez para medir el espacio y el tiempo por igual para las coordenadas que hacen que los efectos relativistas sean más comprensibles (a costa de dificultar las traducciones). No estoy seguro de lo que hice con esos …

si realmente quieres luchar con las ecuaciones de la relatividad especial y aprender a resolver problemas, hay un millón de recursos en línea y creo que es flojo tener a alguien en Quora que te lo explique. Estoy entusiasmado por proporcionar explicaciones generales.

De todos modos, la electricidad y el magnetismo son lo mismo. Se nos dice que un campo magnético gira alrededor de una partícula en movimiento, pero si estuvieras en el marco de referencia de esa partícula solo tiene un campo eléctrico, y la física tiene que dar los mismos resultados en ambos marcos.

Suponga que tiene una partícula que viaja paralela a un cable con corriente. En el marco del laboratorio (donde se ve tal cosa), el cable forma un campo magnético circular, que proporciona una fuerza que se produce en forma cruzada con la velocidad de la partícula, causando una fuerza atractiva o repulsiva directamente perpendicular al cable (dependiendo sobre los cargos). En el marco de la partícula, el cable es solo un montón de cargas que se quedan quietas.
No es 0 carga neta, solo tiene 0 carga neta en el marco del laboratorio. Los, digamos, los electrones se movían con las cargas positivas en reposo. En este nuevo marco, los electrones están en reposo y las cargas positivas se mueven hacia atrás. Pero en este nuevo marco de movimiento más rápido, el cable se ve más corto (y si continuamos acelerando, eventualmente se verá casi muy corto a medida que lo veamos pasar volando: busque la contracción de longitud y la dilatación del tiempo, más efectos de las rotaciones hiperbólicas) . El nuevo marco significa que vemos los electrones más separados y los protones más juntos, lo que aumenta la carga. [Podría intentar dar una mejor explicación aquí más adelante, pero estoy evitando las matemáticas porque realmente deberías aprender eso de un libro de texto que tiene muchas páginas dedicadas al tema. Por ejemplo, Griffith’s Introduction to Electrodynamics, capítulo 12].

Entonces, el cable tiene una carga y hay una partícula cargada que todavía se encuentra cerca. Obviamente se van a empujar / jalar entre sí a través del campo eléctrico solo. Por lo tanto: los campos eléctricos y magnéticos son lo mismo.

El campo magnético es difícil de comprender porque decimos que gira en espiral alrededor de las cosas, pero recuerde que se vuelve a producir un producto cruzado antes de causar fuerzas, lo que lo vuelve a repulsar, por lo general.

Acabo de pensar que se puede obtener una intuición ad hoc siguiendo la tercera ecuación de Maxwell: el campo magnético aumenta perpendicularmente a donde gira el campo eléctrico. Si se somete gradualmente a un impulso de Lorentz, verá que las líneas del campo eléctrico se doblan hacia atrás. Si imagina una sección transversal plana de una partícula en movimiento: a medida que aumenta Lorentz, las líneas del campo eléctrico giran fuera de la partícula, como una fuente, haciendo que las líneas del campo magnético apunten dentro y fuera del plano a su alrededor. . Cuando llegue a su nuevo marco de descanso, los campos eléctricos han disminuido significativamente y han aparecido campos magnéticos en su lugar. Voy a tener que jugar con esa forma de pensar sobre eso más tarde, eso es realmente interesante.

Me temo que no he logrado adaptar esto a ningún nivel específico de competencia, en parte porque no lo especificó. Me encantaría aclarar las cosas más tarde. Utilizo estas publicaciones de Quora para mantener mi intuición física, pero ya no hago muchas matemáticas y estoy demasiado cansado para recordarlo por el momento. Añadiré que es bastante imposible describir realmente la transformación de Lorentz en términos de “laico”, creo; Lo mejor que puedo hacer es un segundo año de pregrado.

Answer 3

La transformación de Lorentz es un método simple para construir nuevas soluciones de una ecuación de onda a partir de una solución dada. Intuitivamente, es la solución que se obtiene si la fuente de la onda se reemplaza por una que se mueve con cierta velocidad, la solución desplazada Doppler. Este método se puede aplicar también a la ecuación de sonido habitual, utilizando la velocidad del sonido en lugar de c.

Entonces, si tiene una solución de la ecuación de sonido que describe el sonido creado por una fuente en reposo, obtiene una solución que describe el sonido creado por esta fuente que se mueve con velocidad constante.

Este método puede aplicarse no solo a la ecuación de onda de sonido, sino también a otras ecuaciones de onda más complejas, como la ecuación de Dirac y la ecuación de Maxwell. Por lo tanto, puede usarse para describir también olas que no se mueven con la velocidad c, pero que tienen esta velocidad solo como un límite superior.

Ahora imagine criaturas que se crean a partir de configuraciones estables de tales olas. Todos los dispositivos que pueden construir también son dispositivos hechos de tales ondas. ¿Puede la medida si están en reposo? No. Para cada solución que les haga decir “estamos en reposo”, se puede construir una solución diferente donde se mueven, pero no verán la diferencia y dirán “estamos en reposo” también.

Ver Introducción a la relatividad para más detalles.

Answer 4

Aquí hay algunas respuestas técnicas excelentes, así que déjame darte las respuestas más simples. En primer lugar, se pregunta cómo una carga en movimiento crea un campo magnético e implica que se debe a una transformación de Lorentz. Esta no es una asociación correcta.

Actualmente en física, hay algunos puntos de parada en los que simplemente decimos “Sí”, como el espacio-tiempo de flexión de masa y las cargas que conducen a campos magnéticos. Simplemente lo hace y no tenemos una explicación más profunda para ello. Puedes sentir que debemos seguir buscando algo más profundo o puedes decir que hemos tocado fondo, pero eso es metafísica. En física es fácil confundirse acerca de la sutil diferencia entre una descripción y una explicación.

Sin embargo, tenemos modelos matemáticos para estos eventos que describen con precisión una multitud de atributos cambiantes. Estos modelos nos permiten ver el evento desde perspectivas muy diferentes.

Una transformación de Lorentz es específicamente un cambio de perspectiva.

Cuando modelo una pelota y las fuerzas que gobiernan su movimiento en tres dimensiones, hay una variedad de puntos, vectores, etc. que forman parte de esa descripción. Simplemente ves una pelota en una pantalla. Sin embargo, si desea ver la parte posterior de esa bola, simplemente puede hacer clic y arrastrarla de alguna manera, pero lo que está sucediendo dentro de la computadora son cálculos matemáticos complejos de todos los diversos puntos y líneas. Esta es una transformación. (generalmente una “transformación de matriz”)

En un juego en el que puedes lanzar una pelota, hay cosas como el peso del objeto en cualquier punto en particular, el efecto de la gravedad sobre él, el ángulo en el que golpea una superficie y su impulso. Hay una gran cantidad de consideraciones y cálculos interdependientes.

Si quiero cambiar lo que ves que sucede en la pantalla, (donde va la pelota) podría mover la pelota o podría moverte y si no hubiera nada más que un espacio en blanco, no preferirías una explicación sobre la otra.

Con una transformación de Lorentz también agregamos otra dimensión completa que sesga su perspectiva de un objeto en movimiento y su perspectiva de usted.

La Transformación de Lorentz y el cálculo dependiente de la velocidad, típicamente llamado gamma, son una representación de ese sesgo. Es un ángulo entre perspectivas.

Es una forma de determinar qué será diferente en dos perspectivas diferentes.

Finalmente, está la parte muy confusa causada por el uso suelto de la palabra “transformación”. Podemos usarlo para transformarnos desde nuestra perspectiva sesgada de ellos, a su perspectiva de sí mismos y viceversa, pero no se transforma desde nuestra perspectiva de nosotros mismos a su perspectiva de sí mismos, como puede implicarse lingüísticamente.

Es por eso que existe cierta confusión en torno a la supuesta “paradoja de los gemelos” porque existe una expectativa implícita de un segundo paso en una “transformación”.

Una “transformación” es una palabra clave que significa cosas muy específicas en matemáticas. Por ejemplo, si simplemente moviera la pelota en la pantalla en lugar de girarla, podría ser una traducción simple en lugar de una transformación.

Answer 5

La transformación de Lorentz es la velocidad de una partícula puntual que viaja en las dimensiones de x e y.

La x es igual a cero e y es igual a cero.