Permítanme tratar de darle sentido a esta pregunta abierta. Usaré un enfoque de tipo serie Taylor para el problema, ya que se menciona en la pregunta, pero, por supuesto, las series Taylor no son las mejores aproximaciones (excepto cerca de un solo punto).
Podemos hacernos la pregunta “Entre todas las funciones analíticas tales que [matemáticas] f (0) = c_0, f ‘(0) = c_1, \ ldots, f ^ {(n)} = c_n [/ matemáticas], ¿ Cuál es el más bonito ? donde le damos algún significado a la palabra mejor . (Por supuesto, podríamos prescribir condiciones en más de un punto si quisiéramos).
Una respuesta que me parecería útil sería arreglar un conjunto “agradable” de funciones analíticas [math] \ mathcal {S} [/ math] y luego pedir la combinación lineal g de elementos de [math] \ mathcal {S } [/ math] tal que
- g tiene los derivados prescritos en los puntos prescritos
- g tiene la menor cantidad posible de coeficientes distintos de cero.
Si estamos trabajando con datos numéricos, entonces la condición (2) probablemente deba debilitarse a alguna otra medida, en cuyo caso los elementos de [math] \ mathcal {S} [/ math] pueden necesitar normalizarse adecuadamente.
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Entonces, por ejemplo, si [math] \ mathcal {S} [/ math] contenía monomios [math] x ^ n [/ math] y funciones exponenciales [math] e ^ {kx} [/ math], y aplicamos esto técnica a los primeros términos de la serie de Taylor de una función exponencial, entonces la identificaríamos “correctamente” como una función exponencial, mientras que si nos alimentamos en un polinomio arbitrario probablemente se quedaría solo.