La multiplicidad geométrica de un valor propio de una matriz no puede exceder su multiplicidad algebraica. Aquí hay un boceto de una prueba. Pon tu matriz en forma canónica de Jordan. Entonces puede ignorar todos los valores propios distintos del que le interesa (llámelo [math] \ lambda [/ math]). Entonces su matriz es diagonal de bloque, y cada bloque tiene solo [math] \ lambda [/ math] ‘s en las diagonales. Además, cada bloque tiene ceros fuera de la diagonal, excepto los que están a lo largo del superdiagonal. Entonces la multiplicidad geométrica de [math] \ lambda [/ math] es solo el número de bloques de Jordan, mientras que la multiplicidad algebraica es la longitud de toda la diagonal. Como cada bloque tiene un tamaño [math] \ geq 1 [/ math], vemos que la multiplicidad algebraica es [math] \ geq [/ math] la multiplicidad geométrica.
Por supuesto, el contenido de esta prueba está envuelto en la existencia de la forma canónica de Jordan. De hecho, para comprender el hecho de que la multiplicidad algebraica [matemática] \ geq [/ matemática] multiplicidad geométrica, primero debe asegurarse de comprender estos conceptos. Un buen libro sobre álgebra lineal, como el de Axler o Halmos, debería ayudarte aquí. La clave para entender es la diferencia entre un vector propio de una matriz [matemáticas] M [/ matemáticas] con valor propio [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas] y un vector propio generalizado de [matemáticas] M [/ matemáticas] con valor propio [matemáticas ] \ lambda [/ math]. El primero es un elemento distinto de cero del núcleo de [math] M- \ lambda \ cdot I [/ math]. Este último es un elemento distinto de cero del núcleo de [math] (M- \ lambda \ cdot I) ^ k [\ math] para cualquier [math] k \ geq1 [/ math]. La dimensión del subespacio que abarcan los vectores propios con valor propio [math] \ lambda [/ math] es la multiplicidad geométrica. La dimensión del subespacio que abarcan los vectores propios generalizados con valor propio [matemática] \ lambda [/ matemática] es la multiplicidad algebraica. Dado que los vectores propios son un subconjunto de vectores propios generalizados, se deduce que la multiplicidad geométrica no puede exceder la multiplicidad algebraica. (Tendrá que relacionar mis definiciones de multiplicidad algebraica y geométrica con las definiciones que conoce para comprender completamente esta prueba. Si tiene alguna pregunta, no dude en preguntar en los comentarios y haré todo lo posible para ayudarlo. Pero también puede preguntarle a su instructor de álgebra lineal).