¿Qué es un “isomorfismo canónico”?

Answer 1

Un morfismo canónico es un mapa que se puede hacer sin opciones involucradas, es decir, de manera canónica. Un isomorfismo canónico es solo un morfismo canónico invertible. Otra forma de verlo es que dos objetos pueden ser isomórficos de diferentes maneras, pero un isomorfismo canónico es un isomorfismo específico y especial. Si estamos hablando de espacios vectoriales, entonces un morfismo es solo una función lineal.

Mirando su ejemplo, consideremos primero un caso en el que hay un isomorfismo canónico, que se encuentra entre un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] y su doble dual (el dual del dual), [matemático] V ^ {* *}[/matemáticas]. Queremos describir una forma natural de tomar un vector [math] v [/ math] y escupir un elemento de [math] V ^ {**} [/ math]. Ahora, ¿qué es un elemento de [matemáticas] V ^ {**} [/ matemáticas]? Es un mapa lineal, que toma un elemento de [matemáticas] V ^ {*} [/ matemáticas], y escupe un número. Deje que [math] v \ in V [/ math] sea un vector. Ahora podemos hacer un mapa lineal [math] \ hat {v} \ en V ^ {**} [/ math] definiendo

[matemáticas] \ hat {v} (\ omega) = \ omega (v) [/ matemáticas],

donde [math] \ omega \ en V ^ {*} [/ math] es un vector dual, es decir, una función lineal desde [math] V [/ math] al campo base. Este es un isomorfismo canónico entre [matemática] V [/ matemática] y [matemática] V ^ {**} [/ matemática], porque no implica elecciones.

Por otro lado, no hay una forma natural de identificar [matemáticas] V [/ matemáticas] con [matemáticas] V ^ {*} [/ matemáticas]. Definitivamente son isomorfos (para espacios dimensionales finitos), pero no existe un isomorfismo canónico especial. Sin embargo, si tenemos una estructura adicional, es fácil definir un isomorfismo. Digamos que tenemos un producto interno en el espacio,

[matemáticas] \ langle v, u \ rangle [/ matemáticas].

Entonces podemos tomar cualquier vector [matemática] v [/ matemática] y crear un vector dual [matemática] \ tilde {v} \ en V ^ {*} [/ matemática] definiendo

[matemáticas] \ tilde {v} (u) = \ langle v, u \ rangle [/ matemáticas].

Este es un isomorfismo, pero no es canónico, porque nos obliga a elegir un producto interno. Puede haber muchos productos internos diferentes en un espacio vectorial, y todos definirán diferentes isomorfismos. Alternativamente, podríamos considerar un espacio vectorial con una base especial y preespecificada. Esta base nos da un producto interno especial (uno para el cual es ortonormal), que podemos usar para definir un isomorfismo. Una vez más, sin embargo, los espacios vectoriales no tienen una base dada por Dios, y elegir un isomorfismo es equivalente a elegir una base, que no es canónica.

Podemos generalizar la noción de (iso) morfismo canónico a diferentes tipos de objetos. Mientras que un espacio vectorial no es canónicamente isomorfo a su doble, un espacio interno del producto (un espacio vectorial con un producto interno predeterminado) es canónicamente isomorfo a su doble espacio interno del producto.

Otro ejemplo de morfismo canónico es en el mundo de los conjuntos. Sea [math] S [/ math] un conjunto, pensado en un conjunto de “letras”, y considere el conjunto [math] W (S) [/ math] de “palabras” con letras en [math] S [/ matemáticas]. Existe una función canónica de [matemáticas] S [/ matemáticas] a [matemáticas] W (S) [/ matemáticas], que lleva el elemento [matemáticas] a [/ matemáticas] a la palabra de una letra “[matemáticas] a [/ math] “. La definición de esta función no requiere opciones, y el proceso funciona igual sin importar cuál sea nuestro conjunto original [math] S [/ math].

La teoría que describe los “morfismos canónicos” es la teoría de la categoría, y el término técnico para “morfismo canónico” es una transformación natural entre los functores.

Answer 2

Aquí el problema no se trata de un espacio vectorial particular y su doble: no se puede llamar a un isomorfismo particular como canónico o no canónico. En cambio, considere las siguientes dos cosas que uno puede hacer para espacios vectoriales y morfismos entre ellos (transformaciones lineales)

Cosa 1: transforma cada espacio vectorial V a V mismo, y cada morfismo f: V a W a sí mismo, f: V a W.

Cosa 2: transforma cada espacio vectorial V a V *, y transforma cada morfismo f: V a W en su doble f *: W * a V *.

Cuando decimos “No hay isomorfismo canónico desde un espacio vectorial a su espacio dual”, realmente estamos diciendo algo sobre la Cosa 1 y la Cosa 2 en general, y sobre la posibilidad de elegir un isomorfismo V a V * de manera uniforme para todos los espacios vectoriales En seguida.

(Cosa 1 y Cosa 2 son el identificador de functor y el functor dual respectivamente, en teoría de categoría).