Suponga que [math] \ mathbb {M} (n, R) [/ math] representa una clase de matrices cuadradas. Entonces el subconjunto S de [math] \ mathbb {M} (n, R) [/ math] tal que el valor absoluto de los valores propios de las matrices es menor o igual a 2. ¿S forma un espacio conectado?

Answer 1

Está conectado, incluso camino conectado. Aún más fuerte, es contractible. Mostraré esto construyendo una homotopía del mapa de identidad en [math] S [/ math] al mapa que envía cada matriz a la matriz cero. Construiré este mapa por:

[matemáticas] H (A, t) = (1-t) * A, [/ matemáticas]

para [math] A \ in \ mathbb {M} (n, \ mathbb {R}) [/ math] y [math] 0 \ leq t \ leq 1. [/ math] As [math] t [/ math] va de 0 a 1, [matemática] H (A, t) [/ matemática] aplasta continuamente el espacio hasta la matriz cero. Para verificar que esta homotopía permanezca dentro de [matemáticas] S [/ matemáticas] para todas las [matemáticas] t [/ matemáticas], simplemente debemos mostrar que cada valor propio [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas] de [matemáticas] (1-t ) * A [/ math] tiene [math] | \ lambda | \ leq 2 [/ matemáticas]. Pero, si [math] \ lambda [/ math] es un valor propio de [math] A [/ math], entonces [math] (1-t) * \ lambda [/ math] es un valor propio de [math] (1 -t) * A [/ matemáticas]. Desde [matemáticas] | \ lambda | \ leq 2 [/ math], claramente tenemos que [math] | (1-t) * \ lambda | \ leq 2 [/ math], y entonces [math] H (A, t) [/ math] es una homotopía desde la identidad hasta un punto. Por lo tanto, [math] S [/ math] es contraíble, por lo tanto, la ruta está conectada, por lo tanto, conectada.