Versión corta : Sí, los determinantes son útiles e importantes. No, no son necesarios para definir las nociones básicas de álgebra lineal, tales como independencia lineal y base y vector propio, o el concepto de una transformación lineal (o matriz) invertible. Tampoco son necesarios para probar la mayoría de las propiedades de estas nociones. Pero sí, creo que un buen curso sobre álgebra lineal aún debería presentarlos desde el principio.
Versión larga : los determinantes son una bestia incomprendida. Es natural: se calculan mediante una fórmula extremadamente fea (a mi parecer) o un algoritmo recursivo (expansión por parte de menores), que implican signos molestos que pueden ser difíciles de recordar. Pero como Disney nos enseñó, una bestia puede tener un corazón de oro y cubiertos parlantes.
Primero, sin embargo, enfatizo que el determinante no es estrictamente necesario para comenzar con el álgebra lineal. Para una explicación completa de esto, vea el artículo de Axler Down with Determinants (http://www.axler.net/DwD.pdf), y su libro de texto Álgebra lineal bien hecho . Esto explica la decisión pedagógica de algunos autores de posponer el tratamiento de los determinantes hasta capítulos posteriores de sus textos: la fórmula complicada y la mecánica de trabajar con los determinantes son simplemente una distracción de los objetivos iniciales en álgebra lineal (aprender sobre vectores, transformaciones lineales, bases, etc)
Sí, los capítulos posteriores siguen siendo cruciales.
- ¿Qué preguntas consideramos en álgebra lineal?
- ¿Cuál sería un producto interno sobre las funciones continuas de modo que el conjunto de monomios sea mutuamente ortogonal?
- ¿Existen aplicaciones industriales o de ingeniería de la regularización de Tikhonov-Phillips?
- ¿Cómo se usan los vectores propios y los valores propios en el procesamiento de imágenes?
- ¿Por qué necesitamos encontrar el inverso de una matriz?
Fundamentalmente, los determinantes son sobre el volumen. Es decir, generalizan y mejoran la noción del volumen del paralelograbado (= versión de mayor dimensión de un paralelogramo) barrido por una colección de vectores en el espacio. Este no es el lugar para dar un tratado sobre álgebra exterior , el lenguaje moderno a través del cual los matemáticos explican esta propiedad de los determinantes, así que lo remito al artículo homónimo de Wikipedia. El punto sutil es que, si bien estamos acostumbrados a pensar en los espacios vectoriales como espacio euclidiano n-dimensional (R ^ n), con el volumen definido en términos de la noción habitual de distancia (el producto interno estándar en R ^ n), de hecho Los espacios vectoriales son una noción más abstracta y general. Pueden estar dotados de nociones alternativas de distancia (otros productos internos), e incluso pueden definirse sobre campos distintos de los números reales (como los números racionales, los números complejos o un campo finito Z / p). En tales contextos, el volumen aún se puede definir, pero no “canónicamente”: debe elegir (un elemento en la potencia exterior superior unidimensional de su espacio vectorial). Puedes pensar en esto como arreglar una escala. La propiedad útil de los determinantes es que, si bien la escala que fija es arbitraria, el efecto de cambio de volumen de una transformación lineal de su espacio vectorial es independiente de la elección de la escala: es exactamente el determinante de dicha transformación lineal. Es por eso que la respuesta a su pregunta, “¿Hay aplicaciones de determinantes en la vida real?” Es indudablemente sí . Surgen todo el tiempo como factores de normalización, porque a menudo es una buena idea preservar la escala a medida que realiza operaciones en vectores (como puntos de datos en R ^ n). [Esto puede ser importante, por ejemplo, para preservar la eficacia o mejorar la eficiencia de los algoritmos numéricos.]
Ahora, ¿qué pasa con las aplicaciones que menciona, como probar la independencia lineal de un conjunto de n vectores en un espacio vectorial n-dimensional (verifique si el determinante no es cero) o invertir una matriz (a través de la regla de Cramer, que involucra un determinante), o, para agregar otro, ¿encontrar valores propios de una matriz (raíces de un polinomio característico, calculado como determinante)? Todas estas son cosas razonables que hacer, pero en la práctica creo que no son métodos muy eficientes para lograr los objetivos establecidos. Se vuelven lentos y difíciles de manejar para matrices grandes, por ejemplo, y se prefieren otros algoritmos. No obstante, creo firmemente que todos deberían saber cómo realizar estas tareas, y sentirse cómodos haciéndolas a mano para matrices de 2 por 2 y 3 por 3, aunque solo sea para comprender mejor los conceptos involucrados. Si no puede calcular los valores propios de una matriz 2 por 2 a mano, entonces probablemente no entienda el concepto, y para una matriz “general” 2 por 2, una buena manera de hacerlo rápidamente es calcular el polinomio característico usando la fórmula “ad-bc” para un determinante 2 por 2.
Se pregunta si los determinantes tienen otros usos en álgebra lineal. Por supuesto que lo hacen. Diría, de hecho, que son ubicuos en álgebra lineal. Esta ubicuidad me dificulta determinar ejemplos específicos o señalar buenos ejemplos motivadores para sus estudiantes. Pero aquí hay una aplicación de alto nivel en matemáticas abstractas. Dado un polinomio [matemático] a_n x ^ n + \ cdots + a_1 x + a_0 [/ matemático], ¿cómo podemos saber si ha repetido raíces sin realmente factorizarlo o encontrar las raíces? De hecho, hay un invariante llamado discriminante que da la respuesta. Se puede calcular una determinada función polinómica [matemática] \ Delta (a_0, \ ldots, a_n) [/ matemática], y esto desaparece si y solo si el polinomio original tiene una raíz repetida. ¿De dónde viene el discriminante? Es esencialmente el determinante de una matriz bastante complicada elaborada a partir de los números [math] a_0, \ ldots, a_n [/ math].
Una aplicación más realista que podría motivar a algunos estudiantes es el determinante jacobiano que entra, por ejemplo, en fórmulas de cambio de variables cuando se estudian integrales en cálculo multivariable. Si alguna vez necesita trabajar con coordenadas esféricas y se pregunta por qué una integral con respecto a [matemáticas] dxdydz [/ matemáticas] se convierte en una integral con respecto a [matemáticas] \ rho ^ 2 \ sin \ phi d \ rho d \ phi d \ theta [/ math], la respuesta es: cierto determinante es igual a [math] \ rho ^ 2 \ sin \ phi [/ math]. Por supuesto, dependiendo de la universidad, un curso de álgebra lineal podría preceder al cálculo multivariable, lo que haría que este “ejemplo motivador” fuera menos útil.
Otra observación que hacer es que para muchos propósitos teóricos, es suficiente saber que hay una fórmula “agradable” para el determinante de una matriz (es decir, una cierta función polinómica complicada de las entradas de la matriz), pero la fórmula precisa en sí misma es irrelevante. Por ejemplo, muchos matemáticos usan constantemente el hecho de que el conjunto de polinomios de un grado dado que tienen raíces repetidas, está “cortado” del conjunto de todos los polinomios de ese grado, por una condición en los coeficientes que en sí es polinomial; de hecho, este es el discriminante que mencioné anteriormente. Pero rara vez les importa la fórmula del discriminante, simplemente usando el hecho de que existe. Por ejemplo, el simple hecho de saber que existe una fórmula de este tipo le dice que los polinomios con raíces repetidas son muy raros y, en cierto sentido, patológicos, pero que si tiene la mala suerte de obtener un tipo así, puede obtener un buen polinomio con raíces distintas simplemente moviendo todos los coeficientes un bit (agregar 0.00001 a cualquier coeficiente generalmente funcionará). [Puedo ampliar esto si publicas otra pregunta sobre el tema.]
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