¿Cuál sería un producto interno sobre las funciones continuas de modo que el conjunto de monomios sea mutuamente ortogonal?

Aquí hay una muy tonta, por eso te pregunté si querías que el producto interno fuera continuo.

El espacio de funciones continuas [math] \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} [/ math] es en particular un espacio vectorial complejo. Como tal, el álgebra lineal básica junto con el axioma de elección implica que tiene una base que contiene los monomios [matemática] \ {1, x, x ^ 2, … \} [/ matemática], y el álgebra lineal básica también implica que nosotros puede definir un producto interno en cualquier espacio vectorial complejo especificando que una base dada es una base ortonormal.

La forma estándar de escribir (¡continuo!) Productos internos en espacios de funciones es usar la integración; el típico producto interno se parece a

[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ mathbb {C}} \ overline {f (z)} g (z) w (z) \, dz [/ math]

donde [math] w (z) [/ math] es una función de peso elegida adecuadamente y la integral converge. Sin embargo, los monomios no pueden ser ortogonales con respecto a tal producto interno bajo suposiciones razonables en [math] w (z) [/ math] (y dicho producto interno tampoco se definirá en funciones continuas arbitrarias); Explicaría el argumento, pero en este punto ya no estoy seguro de si estoy respondiendo a su pregunta.

Bueno, suponiendo que sus funciones sean de números complejos a números complejos, para un ejemplo prominente (casi), tome el producto interno de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) [/ matemáticas] ser [math] \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} h (e ^ {ix}) dx [/ math], donde [math] h (x) [ / math] es el producto de [math] f (x) [/ math] y el conjugado de [math] g (x) [/ math]. Esto es lineal en el primer argumento, conjugado simétrico y semidefinido positivo, y los monomios forman un conjunto ortonormal bajo este producto. (Lo que estamos haciendo aquí es esencialmente notar el producto interno que da lugar a la transformación de Fourier, así como la relación entre la transformación de Fourier y la transformación Z)

[Tenga en cuenta, sin embargo, que este producto solo depende de los valores de sus funciones en el círculo complejo de la unidad, y por lo tanto no tenemos una definición positiva completa (una función continua podría ser 0 a lo largo del círculo de la unidad y no cero en otro lugar), a menos que esté dispuesto a imponer más requisitos de suavidad más allá de la continuidad …]

Como señaló Qiaochu Yuan, el típico producto interno continuo tiene la forma de una integral. La respuesta que proporcionaré aquí aparece en un curso típico de Análisis complejo como un caso especial del Teorema integral de Cauchy. Defina [math] f_n (z) = z ^ n, \ \ forall n \ in \ mathbb {Z} [/ math] que abreviaré [math] f_n. [/ math] Un producto interno correcto es entonces
[matemáticas]
\ langle f_n, f_m \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi i} \ oint z ^ nz ^ {- m} \ frac {dz} {z} = \ delta_ {n, m}.
[/matemáticas]
Aquí, el contorno es cualquier círculo de cualquier radio distinto de cero y el lado derecho es el delta de Kronecker. Esto extiende el conjunto de monomios a poderes negativos, lo cual es natural para funciones de valor complejo. Observe que si establecemos [matemática] w (z) = (2 \ pi iz) ^ {- 1}, [/ matemática] entonces este es el resultado mencionado por Qiaochu.