Aquí hay una muy tonta, por eso te pregunté si querías que el producto interno fuera continuo.
El espacio de funciones continuas [math] \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} [/ math] es en particular un espacio vectorial complejo. Como tal, el álgebra lineal básica junto con el axioma de elección implica que tiene una base que contiene los monomios [matemática] \ {1, x, x ^ 2, … \} [/ matemática], y el álgebra lineal básica también implica que nosotros puede definir un producto interno en cualquier espacio vectorial complejo especificando que una base dada es una base ortonormal.
La forma estándar de escribir (¡continuo!) Productos internos en espacios de funciones es usar la integración; el típico producto interno se parece a
[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ mathbb {C}} \ overline {f (z)} g (z) w (z) \, dz [/ math]
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donde [math] w (z) [/ math] es una función de peso elegida adecuadamente y la integral converge. Sin embargo, los monomios no pueden ser ortogonales con respecto a tal producto interno bajo suposiciones razonables en [math] w (z) [/ math] (y dicho producto interno tampoco se definirá en funciones continuas arbitrarias); Explicaría el argumento, pero en este punto ya no estoy seguro de si estoy respondiendo a su pregunta.