¿Qué preguntas consideramos en álgebra lineal?

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Bueno, para un sistema de ecuaciones, esas son probablemente la mayoría de las preguntas con las que lidiarás. Pero el álgebra lineal no se trata exclusivamente de resolver sistemas de ecuaciones. Una aplicación masivamente importante del álgebra lineal es el hecho de que la derivada de una función es un mapa lineal en espacios tangentes. Esto da un ejemplo extremadamente importante de un mapa lineal que no solo codifica un sistema de ecuaciones. Junto con esto viene un conjunto completo de preguntas. Es cierto que muchas de estas preguntas son realmente sobre espacios de productos internos y, en consecuencia, “realmente” pertenecen al análisis funcional, pero estas son cosas que generalmente se cubren en una clase elemental llamada “álgebra lineal”, como mencionas en tu pregunta:

• ¿Una transformación lineal preserva la orientación? ¿Qué tal longitudes o ángulos?
• ¿Cuál es más y menos cambia la longitud de un vector?
• ¿Cómo podemos expresar una transformación lineal dada como una secuencia de transformaciones básicas, como rotaciones o dilataciones?

Otro conjunto de aplicaciones de gran importancia tiene que ver con la optimización y la aproximación:

• Dado un conjunto de puntos, ¿cuál es el mejor modelo lineal para ellos?
• Dada una función, ¿cuál es la mejor aproximación polinómica a ella?
• ¿Cómo aproximamos mejor una matriz grande bt una matriz de rango pequeño? En otras palabras, ¿cuáles son los constituyentes “más importantes”?

Algunos de los conceptos necesarios para resolver estos problemas son los vectores propios y los valores propios, los espacios internos del producto, las bases ortonormales, el procedimiento de Gram-Schmidt, el QR y las descomposiciones de valores singulares, etc.