Física matemática: ¿Cuál es la diferencia entre vector, tensor, spinor y twistor?

Answer 1

Los hiladores son complejos (juego de palabras). Parafraseando a Heisenberg, puedes entender los hiladores o trabajar con ellos, pero no ambos. Sin embargo, lo intentaré.

Puedes pensar en un spinor como una versión compleja de un tensor: actúa en espacios vectoriales complejos linealmente. La complejidad adicional (perdón por el juego de palabras) proviene de la conjugación compleja, que convierte la linealidad compleja en linealidad conjugada, tal como sucede con un producto interno en un espacio vectorial complejo. El conjugado de un spinor [matemático] \ kappa ^ A [/ matemático] (las letras mayúsculas para los índices son tradicionales) se conoce como un spinor “punteado” o “discontinuo”, [matemático] \ overline {\ kappa ^ A} = {\ kappa} ^ {A ‘} [/ math] (omitir la barra en la letra del núcleo es una práctica habitual). Los hiladores pueden actuar linealmente en los espacios vectoriales complejos, o su conjugado, o productos tensoriales del espacio y su conjugado, tal como los tensores actúan sobre los productos de un espacio (real).

Dirac introdujo spinors (actuando sobre [matemáticas] {\ mathbb C} ^ 4 [/ matemáticas]) en su ecuación homónima para obtener una “raíz cuadrada” de operadores diferenciales. Y 2 spinors (que actúan sobre [math] {\ mathbb C} ^ 2 [/ math]) pueden considerarse de manera similar como raíces cuadradas de vectores. En el corazón de por qué esto funciona es el hecho de que el grupo [matemáticas] SL (2, {\ mathbb C}) [/ matemáticas] es una doble cobertura del (componente de identidad de) el grupo de Lorentz [matemáticas] SO ^ * (1,3) [/ matemáticas]. En la práctica, tiene un isomorfismo de [math] {\ mathbb C} ^ 2 \ times \ overline {\ mathbb C} {} ^ 2 [/ math] al espacio de Minkowski [math] M ^ 4 [/ math], en trabajos anteriores escritos como [math] \ sigma ^ a {} _ {AA ‘} [/ math] pero hoy en día a menudo simplemente se omiten (está en el trabajo clásico de Penrose & Rindler), y dicen un vector [math] \ ell ^ a \ in M ​​^ 4 [/ math] viene dado por [math] \ ell ^ a = \ kappa ^ {A} \ kappa ^ {A ‘} [/ math]. El vector [math] \ ell ^ a [/ math] será automáticamente nulo en este caso.

En cuanto a los torsores, estoy menos seguro de lo que son, pero por lo que puedo entender, son básicamente un par ordenado de hiladores, [matemáticas] (\ omega ^ A, \ pi_ {A ‘}) [/ matemáticas] , que le dan soluciones a una determinada ecuación diferencial en los spinors. Tienen algo que ver con cómo se mueven los fotones, pero me perdí en esa etapa de Penrose & Rindler.

Answer 2

Además de la respuesta de John Steele, déjenme decir algunas palabras.

Desde el punto de vista algebraico, el tensor es un mapa multilineal, como escribió en la pregunta. Así es el spinor. Déjame explicarte la diferencia.

Con cualquier múltiple, hay un paquete tangente asociado. Es decir, en cualquier punto de la variedad tiene un espacio tangente de vectores , que describen las direcciones. Puede representar el vector como una familia de curvas que tienen la misma dirección en un punto dado (es decir, el vector es una clase de equivalencia de todas las curvas que son tangentes entre sí en un punto dado), o puede representar el vector como un operador diferencial que actúa sobre las funciones y devuelve la derivada de la función en la dirección de un vector (curva). Todos los espacios tangentes en todos los puntos del múltiple forman un paquete tangente.

Con el espacio tangente, hay un espacio dual asociado, llamado espacio cotangente, es decir, el espacio de asignaciones lineales que actúan sobre vectores, y todos los espacios cotangentes juntos forman un paquete cotangente.

A partir de estos dos paquetes, puede formar un paquete tensor de la manera habitual. Un tensor general es un mapeo que toma p vectores, q co-vectores (elementos del espacio cotangente) y produce un número real.

El punto crucial aquí es que los campos tensoriales en una variedad surgen naturalmente de espacios tangentes canónicamente asociados con cada punto de la variedad.

Los hiladores requieren más estructura. En particular, suponga que tiene un espacio vectorial complejo bidimensional equipado con la forma simpléctica (no degenerada, antisimétrica, lineal de 2 formas). Los elementos del espacio vectorial se denominan entonces spinors . La forma simpléctica da lugar a un producto simpléctico entre los hiladores. Con el espacio spinor, hay un espacio dual asociado. Pero dado que los spinors son objetos complejos, debe introducir también el espacio de los spinors conjugados complejos y su dual.

El punto es que un producto de un spinor y un spinor conjugado complejo se comporta como un vector, es decir, se transforma de acuerdo con el grupo de Lorentz. Además, el producto de la forma simpléctica y su complejo conjugado se comporta como la métrica de Minkowskian.

Luego, puede adjuntar el espacio del rotor a cada punto de un múltiple, de manera similar a como puede adjuntar un espacio tangente a cada punto. Hay un mapeo, llamado soldadura, que introduce la relación entre los hiladores y los tensores.

La propiedad crucial de los hiladores es cómo se transforman bajo las transformaciones de Lorentz. Este comportamiento surge de las propiedades del álgebra de Clifford y los grupos correspondientes Pin y Spin (pero esto requiere una discusión mucho más larga).

Pero, como escribió John Steele, el spinor define únicamente un vector nulo, y una transformación de spin define una transformación de Lorentz de 2 a 1.

Puede introducir la derivada covariante en el espacio de los campos de spinor. La ecuación de twistor, en cuatro dimensiones, tiene la forma

[matemáticas] \ nabla ^ {A ‘(A} \ omega ^ {B)} = 0 [/ matemáticas]

y en el espacio-tiempo plano se puede resolver. Uno descubre que la solución está parametrizada por dos hiladores constantes,

[matemáticas] Z ^ \ alpha = (\ omega ^ A, \ pi_ {A ‘}) [/ matemáticas]

Bajo la traducción del origen del sistema de coordenadas, estos hiladores se transforman como

[matemáticas] \ omega ^ A \ mapsto \ omega ^ A – i \, x ^ {AA ‘} \ pi_ {A’} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pi_ {A ‘} \ mapsto \ pi_A, [/ matemáticas]

donde [math] x ^ {AA ‘} = x ^ a [/ math] es el equivalente del spinor del vector de posición (t, x, y, z), es decir, una matriz

[matemáticas] x ^ {AA ‘} = \ begin {pmatrix} t + z & x – i \, y \\ x + i \, y & tz \ end {pmatrix} [/ math]

Puede ver que [math] \ pi_ {A ‘} [/ math] es invariante bajo la traducción. Además, como cualquier spinor, define un vector nulo. Por lo tanto, el vector nulo

[matemáticas] p_a = \ bar {\ pi} _A \ pi_ {A ‘} [/ matemáticas]

se comporta como un impulso de cuatro partículas sin masa (que siempre tiene un impulso de cuatro momentos similar a la luz).

De la combinación de [math] \ omega ^ A [/ math] y [math] \ pi_ {A ‘} [/ math] puede formar un objeto que se comporta como el momento angular de una partícula sin masa.

Entonces, en el espacio-tiempo plano, el twistor representa el momento y el momento angular de una partícula con masa cero, es decir, se mueve a la velocidad de la luz. Se puede demostrar que en este formalismo es automático que la partícula sin masa tenga helicidad ya sea +1 o -1, pero nunca cero (a diferencia de las partículas masivas).

Hay muchas más cosas que decir, acabo de escribir lo que se me ocurrió.