¿Por qué el desplazamiento angular finito es un escalar?

Answer 1

Un vector siempre se puede expresar como el producto de una magnitud escalar multiplicada por un vector unitario en la dirección correcta. Los desplazamientos angulares finitos son diferentes porque son pseudovectores que no conmutan :

Suponga que realiza tres desplazamientos vectoriales : uno a lo largo del eje x , otro a lo largo del eje y y el tercero a lo largo del eje z . Puede cambiar el orden de estos desplazamientos de la forma que desee, y aún así terminará en el mismo lugar, a la misma distancia desde su punto de partida y en la misma dirección. Los vectores de desplazamiento conmutan .

Ahora suponga que hace solo dos rotaciones de 90 grados alrededor de los ejes x e y . (Haga esto con un libro, es fácil hacer un seguimiento de los ejes). La combinación ( x , luego y ) deja el libro en una orientación final diferente de la combinación ( y , entonces x ). Las rotaciones finitas no conmutan .

Las rotaciones infinitesimales , sin embargo, conmutan. (Puede verificar esto inclinando ligeramente su libro sobre el eje largo, luego sobre el eje corto, recordando la posición final y repitiendo en el orden opuesto).

Entonces, la conmutación de los desplazamientos angulares del pseudovector, a diferencia de los desplazamientos vectoriales, depende del tamaño del desplazamiento, por lo que para los desplazamientos angulares no puede simplemente extraer un vector unitario y dejar que el tamaño sea escalar.

Espero que ayude.

Answer 2

El desplazamiento angular no puede ser un vector porque la suma no es conmutativa. Digamos que estamos mirando a la Tierra con América del Norte frente a nosotros y el Polo Norte hacia arriba: si giramos la Tierra para movernos 90 grados al norte, ahora el NP nos está mirando y NA está hacia abajo. Si giramos la tierra para mover 90 grados al este, terminamos con NA hacia abajo y el NP hacia la izquierda. Pero, si invertimos el orden, terminamos mirando al NP mientras que NA mira a la izquierda.

Sin embargo, para desplazamientos muy pequeños, la superficie de la tierra es básicamente plana, por lo que “girando” la tierra simplemente se mueve en una dirección determinada sin intercambiar ningún eje. Entonces, si estamos frente a algún punto A en el ecuador, de cualquier manera hacemos las rotaciones y terminamos frente a un punto justo al NE de A, con el NP hacia arriba.

Answer 3

Vea la figura tomada de Halliday, Resnick y Walker, Fundamentos de física, Quinta edición, página 243. Esta figura explica clara y fácilmente que la rotación finita no es un vector.

Answer 4

Debido a que un ángulo no tiene longitud ni área, no es dimensional.