¿Qué es una explicación intuitiva de una norma de espacio vectorial normado?

Answer 1

Repasemos la definición de una norma en un espacio vectorial real [matemática] V [/ matemática]. Es una función [matemáticas] \ | \ cdot \ |: V \ rightarrow \ mathbb {R} _ {\ geq 0} [/ math] con las propiedades que:

1.) [matemáticas] \ | v \ | = 0 [/ matemáticas] iff [matemáticas] v = 0 [/ matemáticas]
2.) [matemáticas] \ | v + w \ | \ leq \ | v \ | + \ | w \ | [/matemáticas]
3.) [matemáticas] \ | cv \ | = | c | \ | v \ | [/ math] ([math] \ forall c \ in \ mathbb {R} [/ math])

Observe dos cosas: primero, estas condiciones implican que [matemáticas] \ rho (v, w): = \ | v – w \ | [/ math] satisface las propiedades de una función de distancia, por lo tanto, la norma puede considerarse como “distancia desde el origen”. Pero un poco más es cierto: las propiedades segunda y tercera básicamente nos dicen que la norma se comporta muy bien con respecto a la estructura del espacio vectorial de [matemáticas] V [/ matemáticas]. Muy específicamente, si escalo un vector, su longitud (la “distancia desde el origen”) debería escalar de la misma manera.

El ejemplo clásico de una norma en un espacio vectorial es la norma euclidiana estándar en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]: [math] \ | (x, y) \ | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ math]. Es bastante fácil comprobar que esto es norma, es el ejemplo guía para definir normas en general.

Aquí hay otro ejemplo que es un poco extraño: la norma del taxi en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]: [math] \ | (x, y) \ | = | x | + | y ​​| [/ math] (se llama así porque si está tratando de calcular la distancia en taxi entre dos puntos en Nueva York, esta es, en su mayor parte, una estimación razonable). Los “círculos” en esta norma parecen diamantes. Sin embargo, encontrará que muchos de los mismos argumentos que se pueden usar para discutir sobre la norma euclidiana se pueden usar para discutir sobre la norma del taxi.

Aquí hay un no ejemplo: [matemáticas] \ | (x, y) \ | = 0 [/ matemática] si [matemática] x = y = 0 [/ matemática], y [matemática] 1 [/ matemática] de lo contrario. Esto es interesante porque esta función define una distancia desde el origen (¡comprobar!), Pero no funciona bien con las operaciones vectoriales. En particular, no escala.

Answer 2

Una norma es solo un medio que nos damos para asignar un valor positivo a cada vector de un espacio vectorial. Este valor afectado puede verse como su longitud (o tamaño), por ejemplo … y se calcula de manera que:

• Los vectores colineales se tratan de la misma manera (homogeneidad).
• Y que la combinación mediante la adición de dos vectores no colineales es como máximo tan larga como lo que sería si los vectores fueran colineales.

Los vectores colineales son solo aquellos cuyas coordenadas son proporcionales.

Eso es.

Answer 3

Un espacio vectorial normalizado es un espacio en el que se puede definir la normalización de un vector.

Dado que la Norma es una operación que se realiza en un vector y no en un espacio, ¡no tiene sentido discutir la norma de un espacio vectorial normalizado!

Sería similar a preguntar, “¿cuál es la raíz cuadrada del conjunto de números reales?”