Cómo demostrar que (AX (BXC)) = B (AC) -C (AB)

Answer 1

[math] \ mathbf B \ times \ mathbf C [/ math] es un vector purpendicular al plano formado por [math] \ mathbf B [/ math] y [math] \ mathbf C [/ math]. Por lo tanto, el vector [math] \ mathbf A \ times (\ mathbf B \ times \ mathbf C) [/ math] se encuentra en el plano formado por [math] \ mathbf B [/ math] y [math] \ mathbf C [/ matemáticas].
Entonces podemos escribir [math] \ mathbf A \ times (\ mathbf B \ times \ mathbf C) [/ math] como,

[math] \ mathbf A \ times (\ mathbf B \ times \ mathbf C) = [/ math] [math] \ alpha \ mathbf B – \ beta \ mathbf C [/ math] [math] \ dots \ mathbf \ dagger [/matemáticas]

Multiplica (producto punto) [math] \ dagger [/ math] por [math] \ mathbf A [/ math] para obtener,

[math] \ mathbf A. (\ mathbf A \ times (\ mathbf B \ times \ mathbf C)) = [/ math] [math] \ alpha (\ mathbf A. \ mathbf B) – \ beta (\ mathbf A . \ mathbf C) [/ math]

Ya que

[matemática] \ mathbf A. (\ mathbf A \ times (\ mathbf B \ times \ mathbf C)) = [/ math] [math] (\ mathbf A \ times \ mathbf A). (\ mathbf B \ times \ mathbf C) = \ mathbf 0 [/ math]

Obtenemos [math] \ alpha (\ mathbf A. \ mathbf B) – \ beta (\ mathbf A. \ mathbf C) = \ mathbf 0 [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ alpha} {\ mathbf A. \ mathbf C} = \ frac {\ beta} {\ mathbf A. \ mathbf B} = \ lambda [/ math]

Entonces

[math] \ mathbf A \ times (\ mathbf B \ times \ mathbf C) [/ math] [math] = \ lambda [/ math] [math] ((\ mathbf A. \ mathbf C) \ mathbf B- ( \ mathbf A. \ mathbf B) \ mathbf C) [/ math]

La ecuación anterior es una identidad y es válida para cualquiera de los tres vectores [math] \ mathbf A, \ mathbf B [/ math] y [math] \ mathbf C [/ math].

Entonces, tomando los tres vectores como [math] \ mathbf i, \ mathbf i [/ math] y [math] \ mathbf j [/ math] como [math] \ mathbf A, \ mathbf B [/ math] y [math ] \ mathbf C [/ math] respectivamente, obtenemos

[math] – \ mathbf j = \ lambda (- \ mathbf j) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ lambda = 1 [/ matemáticas]

Entonces
[matemática] \ mathbf A \ times (\ mathbf B \ times \ mathbf C) = [/ math] [math] (\ mathbf A. \ mathbf C) \ mathbf B – (\ mathbf A. \ mathbf B) \ mathbf C [/ matemáticas]

Answer 2

Seleccionamos el sistema de coordenadas de modo que el eje x esté a lo largo del vector B. el eje y esté en el plano de B y C. eje z perpendicular al plano de B y C. Con este sistema de coordenadas, tenemos,

B = Bx i,

C = Cx i + Cy j

A = Ax i + Ay j + Az k

Ahora, BXC = Bx i X (Cx i + Cy j) = BxCy (i X j) = BxCy k ……………… .. (1)

Entonces, AX (BXC) = AxBxCy ( i X k ) + AyBxCy ( j X k ) = AxBxCy (- j) + AyBxCy (I ) ……………………. (2)

Ahora, sumamos y restamos AxBxCx i en el lado derecho de la ecuación (2). Esto da,

AX (BXC) = – AxBx (Cx i + Cy j) + ( AyCy + AxCx) Bx i ……………………. (3)

Pero, AxBx = AB, ………………… .. (4)

Cx i + Cy j = C ………………………… .. (5)

AyCy + AxCx = AC …………………. (6)

Bx i = B …………………………………. (7)

Usando (4), (5), (6) y (7) en (3), tenemos,

AX (BXC) = B (AC) -C (AB) ……………. (8)

Answer 3

Si desea obtener una prueba de esta pregunta de una manera fácil, puede probar el método que se proporciona a continuación.

tomar

A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + Por j + Bz k

C = Cx i + Cy j + Cz k

Ahora comience con L HS o R HS

Comencemos con LHS

LHS = (A x (B x C))

Primero resolveremos para (B x C)

(B x C) = (ByCz – BzCy) i + (BzCx – BxCz) j + (BxCy – ByCx) k

Ahora resolveremos para (A x (B x C))

(A x (B x C)) = (AyBxCy-AyByCx-AzBzCx + AzBxCz) i + (AzByCz-AzBzCy-AxBxCy + AxByCx) j + (AxBzCx-AxBxCz-AyByCz + AyBzCy) k ——- (1)

Ahora resolveremos para RHS

RHS = B (AC) -C (AB)

= B. (AxCx + AyCy + AzCz) -C. (AxBx + AyBy + AzBz)

= (AyBxCy-AyByCx-AzBzCx + AzBxCz) i + (AzByCz-AzBzCy-AxBxCy + AxByCx) j + (AxBzCx-AxBxCz-AyByCz + AyBzCy) k —- (2)

Dado que la ecuación 1 = ecuación 2

por lo tanto LHS = RHS

Answer 4

Espero que entiendas la solución. Si te enfrentas a alguna dificultad en alguna parte, por favor contáctame. Haré todo lo posible para explicar mi nivel.

Todo lo mejor.

Recuérdame en tus oraciones. 🙂

Answer 5

Imagine tres vectores. Vector A = (Ax, Ay, Az). Coloque B en el eje X, coloque C en XOY. Entonces B = (Bx, 0,0), C = (Cx, Cy, 0). Luego BxC = (0,0, BxCy), entonces Ax (BxC) = (AyBxCy, -AxBxCy, 0).
Luego el lado derecho. AC = AxCx + AyCy, entonces B (AC) = (Bx (AxCx + AyCy), 0,0). De la misma manera puede obtener C (AB) = (AxBxCx, AxBxCy, 0) Así que finalmente puedes probar eso.

Answer 6

Para simplificar, simplemente tome uno de los componentes del vector resultante, digamos el componente x. La solución resultante se puede extender a los otros dos debido a la simetría. Abra ambos lados de la ecuación como lo haría en pruebas de trigonometría elementales.

Considere los vectores de la siguiente manera:

A = a1 x ^ + a2y ^ + a3z ^

De manera similar, construya los vectores B y C.

Por lo que entonces:

( B x C ) se puede evaluar utilizando la matriz del producto cruzado para obtener (tomando solo componentes y nad z):

– (B3C1-B1C3) y ^ + (B1C2-B2C1) z ^

Nuevamente use la matriz de productos cruzados para calcular ( A x ( B x C )) {x ^ solamente}

Esto produce:

(A2B1C2-A2B2C1-A3B3C1 + A3B1C3) x ^

Al comparar esto con el componente x ^ de B ( AC ) – C ( AB )

La derivación para los otros componentes se deja al lector como un ejercicio.

En cuanto a la prueba geométrica de ello, el álgebra tridimensional simple lo ayudará.

Solo recuerde que el producto cruzado de dos vectores siempre es perpendicular a los dos vectores en cuestión.

Answer 7