¿Cómo puedo estudiar el álgebra lineal?

Answer 1

Bien, claramente me preocupo demasiado por enseñar álgebra lineal:

I. Los dos niveles de álgebra lineal

Hay dos niveles de comprensión de álgebra lineal que creo son los más relevantes:

EDITAR: Me acabo de dar cuenta de lo fácil que puede malinterpretar mi consejo aquí. Quiero señalar que (2) no pretende representar todo el material “abstracto” tanto como una cierta tendencia pedagógica en la enseñanza del álgebra lineal “avanzada” que intenta evitar matrices (y a veces incluso el determinante … Axler no lo hace) hasta el Capítulo 10 o algo así). Pensar en las matrices y los vectores como objetos abstractos e introducir la noción de “espacio vectorial”, etc., todavía cuenta como (1) y en realidad se hace, por ejemplo, en los libros / conferencias de Strang, y definitivamente es parte de los fundamentos. Hago este contraste principalmente para combatir la idea de que de alguna manera “si eres inteligente, deberías hacer álgebra lineal bien y nunca pensar en matrices”, lo que creo que es una trampa para principiantes “inteligentes”. Creo que la abstracción de espacios vectoriales es valiosa, incluso para (1). Pido disculpas por esta confusión y he cambiado ligeramente mi redacción.

1) usar matrices como foco. Esta es la escuela Strang, que defiende que el mejor método es jugar con matrices a través de cálculos concretos. Para esto, los apuntes de Strang en el MIT OCW son acordados por muchos como el mejor recurso (las opiniones sobre su libro son más variadas, pero personalmente todavía creo que son útiles). Si ve el álgebra lineal como una herramienta que desea usar en lugar de una historia que desea aprender . Le recomiendo que se detenga aquí y aprenda a usar la herramienta en los cálculos reales. Si es un poco más ambicioso, tal vez obtenga algunos proyectos que involucren MATLAB, Mathematica, Maple o SAGE. Ver números reales ayuda mucho. Es por eso que las personas como Alan Edelman son ridículas con las matrices.

2) usando álgebra lineal abstracta como foco. Este es el enfoque de “Álgebra lineal bien hecho” que creo que es horrible si solo quieres aprenderlo como una herramienta . Para, por ejemplo, un estudiante graduado de matemáticas, esto se vuelve indispensable (sin embargo, la mayoría de las personas que enseñamos no se convierten en estudiantes graduados, un hecho que los matemáticos somos horribles para recordar). El libro de Axler es bastante bueno en esto, pero una joya que no veo lo suficientemente recomendada es el Libro de problemas de álgebra lineal de Paul Halmos. Si bien la gente realmente debería leer cualquier cosa de Paul Halmos, esta colección me pareció particularmente útil y agradable. Como beneficio adicional, creo que incluso las personas que solo están interesadas en (1) pueden ganar un poco de este libro.

Creo que a menos que tengas algo de talento, saltar directamente a (2), incluso si lo entiendes, no te hace bueno en (1). Se ha dicho (me estoy tomando un poco de libertad) que los mejores matemáticos se negarán a reconocer filas y columnas de números, pero cuando ha llegado la noche y la tierra está oscura y sus padres no están mirando, están en sus oficinas en secreto. luchando por multiplicar matrices (y a menudo equivocándose). Para la mayor parte del mundo que usa las matemáticas (es decir: no matemáticos), aprender (1) sólidamente y hacer (2) como diversión / inspiración parece ser la mejor y la forma más sencilla de hacerlo. Si haces esto, siéntete orgulloso de que estás aprendiendo Álgebra Lineal Hecho Incorrecto, porque todavía es álgebra lineal y sigue siendo increíble.

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II La preparación mental para el álgebra lineal

Otra cosa que realmente quiero mencionar es que el álgebra lineal es una comida bastante grande para la mayoría de los recién llegados, por lo que tener “principios rectores” en su mente a medida que aprende acelerará el proceso. Aquí están los 3 que encontré más útiles para mis alumnos y para mí:

1) mantenga una lista de “cosas equivalentes” a la invertibilidad . Te darás cuenta de que muchos conceptos se enfocan perfectamente de esta manera, desde valores propios hasta resolver ecuaciones para clasificar hasta tomar inversas matriciales. Las personas con experiencia hacen estas cosas de manera bastante automática, pero puede tomar algún tiempo acostumbrarse a esto si eres nuevo.

2) siempre piensa siempre en cómo tomar el “esqueleto” de una matriz que captura la mayor parte de su esencia. El ejemplo más claro de esto es un secreto sucio: a los matemáticos (y especialmente a los físicos) les gusta “entrecerrar los ojos” en una matriz y solo ven una matriz diagonal con los valores propios en la diagonal, luego hacen declaraciones inteligentes sobre la matriz y luego justifíquelo más tarde con transformaciones de similitud y (Dios no lo quiera) la forma de Jordan.

3) (un poco más relevante para el pensamiento abstracto, pero útil para ambos) las matrices siempre tienen dos interpretaciones: una como una transformación que come vectores y escupe vectores; el otro como una forma bilineal que come dos vectores y escupe un número. Para matar tu confusión en un 80%, siempre recuerda mentalmente en qué mundo estás . Esto también le ayuda a recordar cuándo necesita envolver su matriz con algo y su inverso (el primero) y cuándo necesita envolver su matriz con algo y su transposición (el último).

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III. La aplicación de álgebra lineal

Esto es para aprender un curso de álgebra lineal. Por supuesto, también hay cómo ver el álgebra lineal en el resto del mundo, lo que para mí es una parte importante (pero bueno, si realmente te importa el curso, deja de leer. Tu propia pérdida). Para esto, veo dos cosas principales:

1) busca una matriz. Cada vez que hay una transformación, como una proyección, hay una matriz. Vayamos un paso más allá: cada vez que tenga variables independientes, puede pensar que se están “transformando” en variables dependientes. Si vas a la navaja de Occam y asumes que esto es lineal (la mayoría de las cosas son, o se pueden estimar), ¡tienes una transformación! Creo que esto (tener variables independientes y dependientes) es la razón número uno por la que el álgebra lineal surge en la ciencia . Realmente deseaba que alguien me dijera esto antes, así que lo digo ahora. Una gran cantidad de aprendizaje automático, econometría y estadísticas realmente se reducen a esto (excepto que ML llama “características” a las variables para que sean molestas).
2) la parte del álgebra lineal más digna de aplicación es el análisis de componentes principales, también conocido como un millón de otros nombres, ya que cada campo lo redescubre y le pone su propio nombre. El ejemplo de juguete que tengo en mi cabeza es cuando tienes muchos puntos en una parcela 2-D que cae en una línea, ¿no quieres realmente pensar en ella como una línea en una dimensión? Felicidades, has descubierto el análisis de componentes principales 1-d ( o regresión lineal; no creo que los dos sean muy diferentes = D).

Vientos seguros.

Answer 2

Puede encontrar algunos de estos tutoriales relevantes y útiles.
Descargo de responsabilidad: un pequeño proyecto personal mío.

Álgebra lineal

Álgebra lineal – Matrices Parte I – Un tutorial con ejemplos Introducción a las matrices. Teoría, definiciones. Qué es una matriz, orden de una matriz, igualdad de matrices, diferentes tipos de matrices: matriz de fila, matriz de columna, matriz cuadrada, diagonal, identidad y matrices triangulares. Definiciones de trazado, menor, cofactores, adjunto, inverso, transposición de una matriz. Suma, resta, multiplicación escalar, multiplicación de matrices. Definición de tipos especiales de matrices como simétrica, simétrica oblicua, idempotente, involuntaria, nula-potente, singular, no singular, matrices unitarias.

Algerba lineal – Matrices Parte II – Un tutorial con ejemplos, problemas y soluciones Problemas y ejemplos resueltos basados ​​en los subtemas mencionados anteriormente. Algunos de los problemas en esta parte demuestran encontrar el rango, las ecuaciones inversas o características de las matrices. Representando problemas de la vida real en forma de matriz.

Álgebra lineal – Determinantes – Un tutorial con ejemplos, problemas y soluciones Introducción a los determinantes. Determinantes de segundo y tercer orden, menores y cofactores. Las propiedades de los determinantes y cómo permanece alterado o inalterado en base a transformaciones simples son las matrices. Expandiendo el determinante. Problemas resueltos relacionados con determinantes.

Álgebra lineal – Ecuaciones simultáneas en múltiples variables – Un tutorial con ejemplos y problemas Representando un sistema de ecuaciones lineales en múltiples variables en forma de matriz. Usar determinantes para resolver estos sistemas de ecuaciones. Significado de sistemas de ecuaciones consistentes, homogéneos y no homogéneos. Teoremas relacionados con la consistencia de sistemas de ecuaciones. Aplicación de la regla de Cramer. Problemas resueltos que demuestran cómo resolver ecuaciones lineales utilizando métodos relacionados con matrices y determinantes.

Conceptos básicos en álgebra lineal y espacios vectoriales: un tutorial con ejemplos y problemas resueltos Teoría y definiciones. Clausura, leyes conmutativas, asociativas, distributivas. Definición de espacio vectorial, subespacios, dependencia lineal, dimensión y sesgo. Algunos problemas introductorios que prueban que ciertos conjuntos son espacios vectoriales.

Álgebra lineal: problemas introductorios relacionados con espacios vectoriales Problemas que demuestran los conceptos presentados en el tutorial anterior. Verificar o probar que algo es un subespacio, demostrando que algo no es un subespacio de otra cosa, verificando la independencia lineal; problemas relacionados con la dimensión y la base; matrices invertidas y matrices escalonadas.

Álgebra lineal: más sobre espacios vectoriales Definición y explicación de la norma de un vector, producto interno, proceso de Graham-Schmidt, vectores coordinados, transformación lineal y su núcleo. Problemas introductorios relacionados con estos.

Álgebra lineal: transformaciones lineales, operadores y mapas Ejemplos resueltos y problemas relacionados con la transformación lineal, mapas lineales y operadores y otros conceptos discutidos teóricamente en el tutorial anterior.

Álgebra lineal: valores propios, vectores propios y teorema de Cayley Hamilton Valores propios, vectores propios, Teorema de Cayley Hamilton

Álgebra lineal: problemas basados ​​en ecuaciones simultáneas, valores propios, vectores propios que demuestran la regla de Crammer, utilizando métodos de valor propio para resolver problemas de espacio vectorial, verificando el teorema de Cayley Hamilton, problemas avanzados relacionados con sistemas de ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.

Álgebra lineal: algunos problemas de cierre en las relaciones de recurrencia Resolviendo una relación de recurrencia, algo más del sistema de ecuaciones.

Answer 3

En mi opinión, la mejor manera de aprender álgebra lineal es hacer álgebra lineal. Recomiendo los siguientes libros. Gilbert Strang, Álgebra lineal y sus aplicaciones (este libro es fuerte en métodos de cálculo y aplicación de álgebra lineal a problemas del mundo real), Paul Halmos, Espacios vectoriales de dimensiones finitas (este es un libro abstracto que se centra en la teoría subyacente del álgebra lineal, este libro es útil para encontrar teoremas para descubrir pruebas). Hay alternativas gratuitas, el libro de Álgebra Lineal de Jim Heffron y el libro de Kenneth Kuttler son excelentes alternativas de descarga gratuita.

Desde una perspectiva práctica, es importante dominar las técnicas de álgebra matricial, luego los determinantes, luego los valores propios y los vectores propios.

Desde un punto de vista teórico, es importante comprender espacios vectoriales, transformaciones lineales / mapeos / operadores, representación matricial de mapeos, espacios internos de productos, determinantes de los mapeos.

Luego pase a temas más avanzados: espacios duales y funcionales, formas bilineales / cuadráticas / hermitianas, operadores en espacios internos de productos.

Answer 4

Vi todos los videos de álgebra lineal de Khan Academy y …

Ahi esta:
– sin ejercicios
– sin aplicaciones
– sin factorizaciones (LU, QR, SVD)
– muchas repeticiones
– falta de términos matemáticos (por ejemplo, hay videos sobre espacios de filas, espacios nulos, etc., pero no se mencionó el término: “cuatro subespacios fundamentales”)

Sin embargo:
– Sal es un gran tutor, sus videos son simplemente interesantes y las explicaciones detalladas. En mi opinión, su estilo es mucho más atractivo que los videos MIT del profesor Strang (descargo de responsabilidad: solo quité algunos de ellos)
– Los videos de Khan son cortos y están “temáticamente cerrados” (las repeticiones son entre videos, los videos individuales no son redundantes)

Resumen:
Puede “sentir” conceptos básicos de álgebra lineal y divertirse viendo estas cosas, sin embargo, hay muchas más cosas, incluso en un curso de introducción. Creo que leer un buen libro (por ejemplo, el de Strang) es una forma mucho más rápida de obtener conocimiento que mirar videos (tanto MIT como Khan).

Answer 5

Estoy aprendiendo ahora álgebra lineal solo.

Me encantan las conferencias de Gilbert Strang (que ahora trabaja en el MIT). Creo que es el mejor maestro que he visto.

En realidad está explicando un libro de Álgebra lineal con tantos ejemplos. Por cierto, en Álgebra lineal, los ejemplos son muy, muy importantes. Soy un principiante en álgebra lineal y antes de pensar en aprender álgebra lineal, leí mucho sobre eso, pero ya no me interesaba. Un día pensé que debía aprender álgebra lineal porque lo necesitaba. Parecía aburrido, pero después de algunas conferencias, cuando comprendes que realmente puedes resolver cualquier problema de Álgebra lineal, es como ….. Woooooww.

Entonces, si desea aprender Álgebra lineal, puede consultar esto: MIT 18.06 Álgebra lineal, primavera de 2005 – YouTube

Buena suerte

Answer 6

Álgebra lineal: una introducción moderna ( http://www.amazon.com/Linear-Alg …)
Creo que hay muchos factores que hacen de este un gran libro. En primer lugar, es fácil de leer y entender. Los temas están organizados de manera lógica. Cada capítulo comienza con un problema que presenta informalmente los conceptos que se abordarán en las secciones. Esto ayuda a los estudiantes, especialmente a los autoaprendices que son nuevos en el tema, a familiarizarse con los conceptos a través de la visualización y ejemplos. Los teoremas se exponen claramente y las pruebas son rigurosas y concisas. Cada capítulo contiene una sección de “Exploración” donde se presentan aplicaciones de la vida real de una amplia variedad de ciencias.

Answer 7

Una de las mejores explicaciones de álgebra lineal que he visto: la esencia del álgebra lineal

Explica los conceptos visualmente y, en mi opinión, esa es la mejor manera de explicar el álgebra lineal.

Answer 8

Recomiendo el libro de Kenneth M Hoffman y Ray Kunze.

Álgebra lineal (2ª edición): Kenneth M Hoffman, Ray Kunze: 9780135367971: Amazon.com: Libros

Este libro es bastante abstracto y puede parecer demasiado profundo. Pero aclarará sus conceptos. Los fundamentos sólidos del álgebra lineal son muy importantes en cualquier campo.

Answer 9

Estoy tomando un curso de Álgebra lineal y seguimos el libro de Trefethen Álgebra lineal numérica. Creo que es el mejor libro para autodidacta Álgebra lineal, ya que se divide en conferencias y puede ayudarlo a simular la sensación de la sala de clase. Además, el material es bastante bueno y el enfoque también me parece bastante interesante.

Answer 10

Obtener “Álgebra lineal bien hecho”!
El título puede parecer presuntuoso, pero después de probarlo, realmente pensaría que muchos otros textos están mal hechos.
Explica las cosas desde un punto de vista más abstracto, en lugar de centrarse en filas y columnas de números.

Answer 11

El curso de Álgebra lineal “Codificación de la matriz: Álgebra lineal a través de aplicaciones informáticas” en Coursera se lanzará en un par de meses. Coursera

ACTUALIZACIÓN: se han mostrado muchos más cursos en el caso de eDx que todavía está interesado:

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Usted no es el que tiene problemas para comprender el álgebra lineal de matemáticas. Hay miles de estudiantes cada año que pasan innumerables horas tratando de autoaprendizaje o aprendizaje y completando sus tareas. La sensación de aislamiento puede ser aterradora. Pero afortunadamente, ahora hay tutores en línea que pueden ayudarlo en álgebra lineal en cualquier momento y en cualquier lugar. El aprendizaje en línea de álgebra lineal es una forma conveniente de aumentar la autoestima, las calificaciones y, lo más importante, mejorar la comprensión.

¿Qué es el álgebra lineal?

Si todavía se está preguntando, qué es el álgebra lineal es la rama de las matemáticas que concierne a los espacios vectoriales y al mapeo lineal entre dichos espacios. El álgebra lineal incluye el estudio de líneas, planos y subespacios, pero también se ocupa de las propiedades comunes a todos los espacios vectoriales. El conjunto de puntos que coordina con la ecuación lineal satisfactoria forma un hiperplano es un espacio dimensional. Según Rene Descartes, el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales adquirió un nuevo significado después de la creación de la geometría analítica.

Beneficios de elegir un tutor en línea para álgebra lineal

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• Mejor comprensión: – La tutoría en línea no solo lo ayuda a hacer la tarea, sino que también garantiza una mejor comprensión del material, al proporcionar la mejor capacitación.
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Answer 13

Los dos cursos de álgebra de la Universidad Abierta de Israel (en hebreo) son excelentes y llevarán al nivel de conocimiento como si hubieras aprendido dos años de Álgebra Lineal en la Universidad Hebrea.

Answer 14

¡Creo que la respuesta a tu pregunta “cómo estudiar álgebra lineal” depende de por qué quieres aprender álgebra lineal! Si eres un estudiante de economía versus estudiante de matemáticas, entonces tu enfoque e intereses probablemente serán muy diferentes. Como estudiante de matemáticas, tendrá que centrarse más en los conceptos abstractos y la redacción de pruebas, como estudiante de economía, tal vez esté más interesado en las aplicaciones del álgebra lineal a la econometría o las estadísticas, tal vez, y no le preocupe tanto escribir y dominar las pruebas. . Díganos por qué quiere aprenderlo y quizás podamos darle algunos buenos recursos para su propósito.

Answer 15

La clase de álgebra lineal del profesor Vittal Rao es extremadamente popular en el Instituto Indio de Ciencia Bangalore. Afortunadamente, una versión en línea del curso está disponible en NPTEL. También está disponible en youtube. Este curso es una joya.

Answer 16

Toma este curso en línea.

Álgebra lineal para principiantes: puertas abiertas a grandes carreras

Answer 17

Uno puede intentar leer ‘Álgebra lineal bien hecha’ por Axler.

PD. Puede que mi respuesta no sea muy útil, pero no pude resistirme a responder porque he estado trabajando en cómo presentar Álgebra lineal durante algún tiempo.

Answer 18

Casi puedes estudiar por tu cuenta cualquier cosa con este gran enfoque que estoy usando.
Primero comienza con un problema.
Ejemplo: cómo resolver Ax = b.
Esta es la pregunta fundamental en álgebra lineal.
Piénsalo. intenta resolverlo por tu cuenta.
Tendrás alguna idea. si es difícil, sentirás por qué es difícil. si es fácil, sentirás por qué es fácil.
Luego vea los métodos que usa la mayoría de las personas.
ejemplo en este caso: Eliminación guasiana o encontrar inversa de matriz.
No se concentre en resolver problemas utilizando un método particular.
intenta entender por qué funciona ese método?
¿Por qué funciona la eliminación gaussiana?
Piense en cómo derivaron la fórmula del inverso de la matriz.
intente puede derivar la fórmula para la matriz 2 × 2.
entonces entenderás por qué las cosas están diseñadas de esa manera.
Todo lo que importa es el pensamiento.
El enfoque básicamente de arriba hacia abajo funciona bien para el aprendizaje.
Los científicos hacen eso.
No comenzarán aprendiendo qué es un espacio vectorial o qué es determinante.
Derivan esas cosas mientras resuelven problemas como Ax = b.
Fórmulas derivadas de Newton. él no definió lo básico primero. Pensó primero en el problema y definió los conceptos básicos.
No conocía el concepto de gravitación mientras pensaba por qué los planetas giran alrededor de la Tierra o por qué los objetos se cayeron en lugar de subir.
hizo la pregunta primero y las fórmulas derivadas.
Pensar en ese enfoque te hará más inteligente y esa es una manera más fácil de entender los conceptos.

Answer 19

http://ocw.mit.edu/courses/mathe …

Answer 20

Sigue al instructor. Puede leer los intereses después de hacer los requisitos. Deberías confiar en ellos. Han aprendido el material. Ahora te dan el plan de la lección. Todo el trabajo se presenta de manera lineal.