¿Por qué el rizo de un gradiente es 0? ¿Cuál es una explicación intuitiva de esto?

Answer 1

El gradiente de una función es un campo vectorial, donde el vector en cada punto apunta en la dirección * en la que la función está aumentando más rápidamente. ¿Qué significaría que un campo así sea rotativo?

MC Escher, ascendente y descendente

* Por “dirección” aquí supongo que quiero decir un poco más de lo que la palabra podría significar normalmente; alterar la magnitud del gradiente no cambiaría la “dirección”, pero probablemente impediría que el campo sea irritable según el comentario de Sridhar Ramesh a continuación. Las explicaciones en lenguaje sencillo casi siempre tendrán este tipo de fallas, pero el texto y la imagen de arriba comunican la idea clave que necesita para tener una intuición de este hecho o para construir una prueba rigurosa.

Answer 2

Qué significa “gradiente”: el gradiente de [math] f [/ math] es lo que, cuando lo integras * a lo largo de una curva, te da la diferencia entre [math] f [/ math] al final y [math ] f [/ math] al comienzo de la curva.

Qué significa “rizo”: el rizo de [math] g [/ math] es lo que, cuando lo integras * a lo largo de una superficie, te da la integral de [math] g [/ math] a lo largo del límite de la superficie (bucle desde algún punto de vuelta a sí mismo).

Entonces, el rizo del gradiente de [math] f [/ math] es lo que, cuando lo integras en cualquier superficie, te da la integral del gradiente de [math] f [/ math] a lo largo del límite de esa superficie (bucle desde algún punto de vuelta a sí mismo). Lo que a su vez es la diferencia entre [matemáticas] f [/ matemáticas] en ese punto final y [matemáticas] f [/ matemáticas] en ese mismo punto de partida. Que es cero

Es decir, el rizo del gradiente de [matemáticas] f [/ matemáticas] es lo que siempre se integra a cero. Y dado que solo nos importa cómo se integra *, esto es tan bueno como ser constantemente cero.

[*: Esto técnicamente solo define la integral del gradiente / rizo a lo largo de una región, y no el valor real del gradiente / rizo en cualquier punto en particular. Pero la integral a lo largo de una región determina el valor promedio (componente) a lo largo de esa región, y luego podemos definir el valor en cualquier punto en particular como un promedio límite de pequeñas regiones que se reducen a ese punto. (El lector que solo se preocupa por la intuición y no por los tecnicismos puede omitir esta nota al pie, aunque probablemente debería haberlo declarado al principio en lugar de al final …)]

Answer 3

Hm, no proporcionaste ningún detalle sobre qué tipo de intuición funcionaría para ti. Entonces, solo te daré un ejemplo físico, para complementar otras respuestas.

Piense en una gravedad, por ejemplo, la gravedad de la Tierra. Este campo gravitacional es un gradiente. Más específicamente, un gradiente negativo de energía potencial del cuerpo de una unidad de masa en el campo de la Tierra. Si su curvatura no fuera cero, mover un cuerpo a lo largo de un camino cerrado le daría un exceso o déficit de energía. Podrías construir un móvil perpetuo . O encuentre un camino cerrado que siempre baja, como en la imagen de Escher, la respuesta de Daniel McLaury a ¿Por qué el rizo de un gradiente es 0? ¿Cuál es una explicación intuitiva de esto? Intuitivamente, esto es imposible, ¿verdad?

Answer 4

Te daré una analogía del álgebra vectorial.

Como su notación sugiere, del puede ser considerado como un vector. Primero, calculemos [math] D \ cdot (D \ times V) [/ math] donde D y V son vectores arbitrarios. Bueno, el producto cruzado de D y V es un vector que es perpendicular a D y V. El producto de punto entre dos vectores es proporcional al coseno del ángulo entre ellos, por lo que el producto de punto de dos vectores perpendiculares es cero. Entonces [matemáticas] D \ cdot (D \ veces V) [/ matemáticas] porque estamos punteando D con algún vector perpendicular a D. Si ahora reemplazamos D con del, obtenemos una derivación completamente no rigurosa pero intuitiva similar a la pregunta.

Ahora hacemos el mismo truco para un rizo del gradiente de un escalar. [matemáticas] \ vec {D} \ veces (\ phi \ vec {D}) [/ matemáticas]. [matemáticas] (\ phi \ vec {D}) [/ matemáticas] es un vector en la dirección D. El producto cruzado de dos vectores es proporcional al seno del ángulo, que es cero porque ambos vectores están en la dirección [math] \ vec {D} [/ math]. Por lo tanto, el producto cruzado es cero.

Answer 5

Este es el mejor recurso que he encontrado para esta pregunta:

https://ccom.ucsd.edu/~ctiee/not …

También ilustra lo que muestra Daniel McLaury con su imagen.