¿Se utilizan Jordan Normal Form y Dual Spaces en las estadísticas?

Answer 1

Las matrices de proyección aparecen mucho en Estadística. Estas son matrices / mapas lineales que satisfacen [matemáticas] P ^ 2 = P [/ matemáticas]. Los valores propios para tales matrices son 0 y 1, ya que si [math] \ lambda [/ math] es un valor propio con el vector propio correspondiente [math] v [/ math], la definición implica [math] \ lambda ^ 2 = \ lambda [ /matemáticas]. Además, el rango de una proyección es la dimensión del espacio propio correspondiente al valor propio 1. ¿Por qué? El espacio propio del valor propio 1 está en el rango de [matemáticas] P [/ matemáticas] por definición, y cualquier elemento en el rango, digamos [matemáticas] Pv [/ matemáticas], satisface [matemáticas] P (Pv) = Pv [/ math], entonces [math] Pv [/ math] pertenece al espacio propio de eigenvalue one.

Escriba la forma normal de Jordan de [math] P [/ math] como [math] BJB ^ {- 1} [/ math] con los bloques de Jordan en la diagonal. Entonces [math] tr (P) = tr (BJB ^ {- 1}) = tr (JB ^ {- 1} B) = tr (J) [/ math], que es la suma de 1 valores propios, equivalente al rango de [matemáticas] P [/ matemáticas] por lo anterior. Por lo tanto, podemos usar la Forma Normal de Jordan para mostrar que el rastro de una proyección es su rango, lo cual es un hecho útil.

Tenga en cuenta que esta es una aplicación menor de la Forma Normal de Jordan, y no necesitamos usarla en el caso de proyección ortogonal, ya que podemos recurrir a una descomposición propia diagonal. También tenga en cuenta que podemos probar directamente que [math] P [/ math] es diagonalizable usando el teorema de Rango-Nulidad: dado que el espacio de la columna es equivalente al espacio propio del valor propio 1, y el espacio nulo es equivalente al espacio propio del valor propio 0, podemos elegir una base para el eigenspace 1 y una base para el eigenspace 0 y colectivamente abarcan todo el espacio, por lo que [math] P [/ math] es diagonalizable.