¿Cuáles son las aplicaciones más sorprendentes del álgebra lineal?

Answer 1

TL; DR : Los motores de búsqueda web modernos utilizan muchas técnicas para estimar la relevancia de las páginas. Uno importante es el análisis de enlaces basado en el concepto de centralidad de vector propio, que proviene del álgebra lineal.

Detalles

La intuición básica detrás de estos métodos es que la relevancia de una página debe ser proporcional a la relevancia total de las páginas que enlazan con ella:

[matemáticas] R_i = c \ cdot \ sum_ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} \ cdot R_j [/ matemáticas]

Aquí [math] A_ {ij} [/ math] es 1 si la página j enlaza con la página i , y 0 en caso contrario, y c es una constante distinta de cero.

Si entrecierra un poco los ojos, verá que el esquema de ecuaciones anterior se puede expresar de manera más compacta en términos de matrices y vectores:

[math] \ underline {R} = c \ cdot \ mathbf {A} \ cdot \ underline {R} [/ math]

En el lenguaje del álgebra lineal, esto dice que el vector de relevancia R es un vector propio de la matriz de adyacencia A de la red.

Answer 2

Casi todos los gráficos de computadora están plagados (por falta de una palabra mejor) con aplicaciones de álgebra lineal. Para los videojuegos, debe hacer frente a las matrices de transformación 3D, así como a algunos métodos de compresión / visualización de imágenes con pérdida pero rápidos. En el último caso, puede tomar el mapa de bits de una imagen, tomar la Descomposición de valor singular de la matriz y conservar solo los valores de la SVD.
SVD: [matemáticas] A = U \ Sigma V ^ T [/ matemáticas]

Luego, si elimina algunas columnas y filas de las matrices SVD (transposición U, Sigma y V), conserva la forma general de la imagen, pero disminuye enormemente el tamaño de los datos que representan la imagen. Luego, el programa de computadora toma algunos de estos datos y los coloca en el búfer de vértices de la GPU, donde la GPU muestra un mapeo de píxeles de la imagen en la pantalla.

El primer caso, la transformación 3D, realmente solo realiza rotaciones, cizallas y similares en los gráficos pseudo-3D. Si alguna vez ha realizado un poco de programación DirectX, puede reconocer la función SetTransform (), que establece la matriz de transformación para que DirectX la use. El argumento de matriz para SetTransform () puede provenir de la función D3DMatrixTranslation () para movimientos de traducción, la función D3DMatrixRotationX (), D3DMatrixRotationY (), y / o D3DMatrixRotationZ () para rotaciones, o la función D3DMatrixScaling () para escalar [1]. Después de usarlos, puede realizar una proyección 3D en 2D para preparar el objeto para su inserción en el búfer de vértices, nuevamente usando álgebra lineal (en el código de implementación de la función DirectX, para que nunca lo vea).

Además de los usos gráficos puros, el álgebra lineal ayuda a resolver las cadenas de Markov, una herramienta probabilística muy útil que se utiliza en todo tipo de áreas, desde modelos de dinámica de poblaciones biológicas hasta predicciones económicas y modelos de flujo de tráfico hasta dinámicas de flujo de fluido incompresible . El álgebra lineal se usa para encontrar la solución de estado estacionario de la cadena de Markov mediante la resolución de los valores propios (lambda) y vectores propios (columnas de v) de una matriz de estocástica dada, P:
[matemáticas] Pv = \ lambda v [/ matemáticas]

Por supuesto, los humanos rara vez calculan estos valores y vectores propios a mano, por lo que los programas de computadora están escritos para resolverlos.

El álgebra lineal también nos ayuda a resolver algunas ecuaciones diferenciales, como las involucradas en las ecuaciones básicas de Lotka-Volterra:
[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = \ alpha x – \ beta xy [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dy} {dt} = \ delta xy – \ gamma y [/ matemáticas]

Debido a que las partes no homogéneas tienen variables mixtas, las soluciones que se enseñan en la mayoría de las clases de ecuaciones diferenciales no funcionan. Sin embargo, debido a que la diferenciación es un operador / transformación lineal, el álgebra lineal proporciona una solución.

Hay muchas más aplicaciones que las que se enumeran aquí, pero estas son las que me vienen a la mente.

[1] http://directxtutorial.com/Tutor…

Answer 3

Daré algunas aplicaciones en matemáticas abstractas, porque otras ya han cubierto aplicaciones “aplicadas”. Considero que estas son las aplicaciones más sorprendentes / significativas del álgebra lineal.

* En topología, analizamos formas expresando (gran parte) de la información sobre los “bucles” en un espacio (por ejemplo, una rosquilla) en términos de ciertos espacios vectoriales sobre los que podemos realizar operaciones de álgebra lineal. [Un ejemplo típico es “campos vectoriales sin rizos (en alguna región de 3 espacios que le interese), tratando todos los campos vectoriales de gradiente como cero”.]

* A lo largo de las matemáticas y la física, surge la simetría, que formalizamos en el lenguaje de la teoría de grupos. Cuando te encuentras con un grupo de simetría, la mejor manera de entenderlo es entender cómo se puede realizar (de varias maneras) como un conjunto de transformaciones lineales invertibles de un espacio vectorial. Esto se llama la teoría de la representación del grupo. [Un ejemplo típico: el grupo de simetrías de un cuadrado (también conocido como el grupo diédrico de orden 8) tiene una representación en un espacio vectorial real bidimensional (el que se encuentra el cuadrado, centrado en el origen): las simetrías del Los cuadrados son rotaciones y reflejos, que son transformaciones lineales de todo el espacio. Entonces, al hacer álgebra lineal, quizás puedas aprender algo sobre los cuadrados. También puede reemplazar cuadrados por n-gons regulares para cualquier n, o por formas de dimensiones superiores. Un ejemplo especialmente interesante es un icosaedro.]

* A veces puede combinar las dos ideas anteriores para estudiar cosas como “el conjunto de soluciones para y ^ 2 = x ^ 3 + x, módulo P ^ n para su primo P favorito”. En este caso, tiene un espacio vectorial que dice algo acerca de cuántos bucles hay en el conjunto de soluciones a la ecuación sobre los números complejos. (Parece una dona, por lo que hay dos bucles, que corresponden a dar la vuelta a la dona de manera corta o larga. Esto significa que el espacio vectorial en cuestión es bidimensional.) Pero dado que nos importa trabajar el módulo P ^ n , este espacio vectorial ahora vive no sobre los números reales o los números complejos, sino sobre el campo finito Z / p. Por lo tanto, es bastante pequeño, pero aún contiene mucha información porque es una representación de un grupo interesante: el grupo Galois de Z / p.

* En general, una buena estrategia para estudiar cualquier conjunto complicado de objetos matemáticos es tratar de demostrar que de alguna manera son “lo mismo” que un conjunto de espacios vectoriales y mapas lineales. Por ejemplo, si tiene un grupo como el grupo diédrico, el conjunto de representaciones del grupo se describe en términos de álgebra lineal. Puede verificar que las simetrías de un cuadrado, por ejemplo, se generan combinando la rotación en 90 grados (lo llamaré R para rotación) y una reflexión (lo llamaré F para “voltear”). Estos satisfacen las condiciones de que hacer R cuatro veces, o F dos veces, es lo mismo que no hacer nada, y hacer F, luego R y F es lo mismo que hacer R tres veces. Entonces, una representación del grupo de simetría de un cuadrado es lo mismo que un espacio vectorial con dos operadores lineales, llámelos R y F nuevamente, lo que satisface las reglas anteriores. OK, ese ejemplo es un poco aburrido. Pero si tiene un grupo de simetría mucho más complicado ( infinito ), como un grupo de simetría continua, como un grupo de Lie, entonces no está claro a priori cómo estudiar una de sus representaciones arbitrarias utilizando una cantidad finita de datos de álgebra lineal , es decir, un espacio vectorial y algunos mapas lineales. Que se puedan hacer cosas como esta es un tema principal de las matemáticas del siglo XX.

Answer 4

Resolver rompecabezas de sudoku.