¿Qué son los jacobianos, los hessianos, los wronskianos y los laplacianos?

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Hola, como dice en los comentarios, hay entradas bastante buenas en Wikipedia y en Wikipedia en inglés simple.

Jacobio: es la generalización de la noción de “derivada” para funciones de valor vectorial (funciones que toman el vector y le dan otro vector).

Hesse: si toma una función escalar de múltiples variables (una función que toma un vector en (las variables múltiples) y le da un escalar) la “primera derivada” es el gradiente. El gradiente es una función de valor vectorial, por lo que su jacobiano representa la “segunda derivada” de la función escalar. Esta “segunda derivada” es la arpillera de la función escalar.

El Wronskian es una matriz que se construye a partir de un conjunto de funciones. En cada columna, coloca las derivadas de cada función en el orden igual al número de funciones en su conjunto. El determinante de esa matriz le dice si su conjunto de funciones es linealmente independiente o no (determinante nulo). Se utiliza en las soluciones de EDO, para el método de variaciones de parámetros.

El laplaciano: para este tenemos que tener cuidado. Supongo que se refiere al operador diferencial y no a la matriz laplaciana de un gráfico.
El laplaciano es solo la divergencia (otro operador diferencial) del gradiente de una función. Ahora, esa es solo la definición matemática, dependiendo del campo donde aparece el laplaciano puede tener diferentes interpretaciones. El que me gusta es la relación con la curvatura media de una superficie (cuánto está doblada la superficie). La curvatura media es la divergencia de la unidad normal de una superficie, si la normal está dada por el gradiente de una función (eso significa que su superficie es una curva de nivel, un equipotencial, un isopotencial, etc.), entonces la curvatura es proporcional al laplaciano.

JPi