Álgebra lineal: ¿cómo se resuelven las ecuaciones de valor propio acopladas?

Answer 1

No sé nada sobre este tipo de problema y estoy trabajando fuera de mi alcance. Un experto puede dar una mejor solución.

Reescribe el sistema como

[matemáticas] A x + B y = \ lambda x [/ matemáticas],
[matemáticas] B ^ \ top x + (D – \ mu I) y = 0 [/ matemáticas].

Elija [math] \ mu \ in \ mathbb {R} [/ math] no un valor propio de D, y tome

[matemáticas] y = – (D – \ mu I) ^ {- 1} B ^ \ top x [/ matemáticas].

Sustituyendo esto en la primera ecuación,

[matemática] \ izquierda [A – B (D – \ mu I) ^ {- 1} B ^ \ arriba \ derecha] x = \ lambda x [/ matemática].

Esto es bastante fácil de resolver: solo estamos encontrando valores propios de una matriz. Esto debería dar todas las soluciones para las cuales [math] \ mu [/ math] no es un valor propio de D. Tenga en cuenta que los valores propios de una matriz dependen continuamente de sus entradas, por lo que [math] \ lambda [/ math] debería depender continuamente en [math] \ mu [/ math]. Podría valer la pena intentar trazar esta dependencia en algunos casos de baja dimensión.

De todos modos, el resultado es que hay MUCHO más de estas cosas de “valor propio acoplado” que valores propios: una matriz nxn tiene como máximo n valores propios, mientras que hay innumerables de estos dispositivos.

Answer 2

Para [math] \ lambda = \ mu [/ math] tienes un problema de ecuación de valor propio normal disfrazado; tu problema es equivalente a

[matemáticas] \ left (\ begin {array} {cc}
A y B \\
B ^ {T} y D
\ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c}
X\\
y
\ end {array} \ right) = \ lambda \ left (\ begin {array} {c}
X\\
y
\ end {array} \ right)
[/matemáticas]

o en la representación del pobre

[matemáticas] (A \; \; B) (x) = \ lambda (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] (B ^ T \; D) (y) \ qquad (y) [/ matemáticas]

Para [math] \ lambda \ ne \ mu [/ math] puede escanear paramétricamente para [math] \ lambda = \ lambda (\ mu) = \ mu + \ delta [/ math] resolviendo puntualmente para

[matemáticas] \ left (\ begin {array} {cc}
A y B \\
B ^ {T} y D – \ delta I
\ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c}
X\\
y
\ end {array} \ right) = \ mu \ left (\ begin {array} {c}
X\\
y
\ end {array} \ right)
[/matemáticas]

o en la representación del pobre

[matemáticas] (A \; \; B \ qquad) (x) = \ mu (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] (B ^ T \; D- \ delta I) (y) \ quad (y) [/ matemáticas]

Tales matrices de bloques 2 × 2 tienen resultados especiales para su manipulación, como la fórmula de inversión de Schur-Banachiewicz, que debería reducirse al tratamiento de Daniel.