¿Por qué se considera que la desigualdad de Cauchy-Schwarz es una de las desigualdades más importantes en matemáticas? ¿Cuáles son sus diversas aplicaciones?

Answer 1

Recordemos que la desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que en un espacio interno de productos

[matemáticas] | \ langle v, w \ rangle | \ leq \ | v \ | \ cdot \ | w \ |, [/ math]

con igualdad si y solo si v y w son paralelas.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es importante porque conecta la noción de un producto interno con la noción de longitud. En el cálculo multivariable, esta desigualdad se usa para decir que el vector gradiente de una función apunta en la dirección del ascenso más pronunciado de la función. De hecho, si f es una función en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], entonces para cualquier vector unitario u tenemos

[matemáticas] D_u f = \ nabla f \ cdot u, [/ matemáticas]

donde [matemática] D_u f [/ matemática] es la derivada direccional de f en la dirección u, o la “tasa de cambio de f en la dirección de u”. Así por Cauchy-Schwarz,

[matemáticas] | D_u f | \ leq | \ nabla f | \ cdot | u | = | \ nabla f | [/ math]

con igualdad si y solo si u es paralelo a [math] \ nabla f. [/ math]

Si solo ha visto la desigualdad de Cauchy-Schwarz para [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], puede que no parezca muy impresionante o útil. Sin embargo, la desigualdad se aplica con mayor frecuencia en contextos mucho más generales. Se utiliza por todas partes en análisis funcionales y ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo, si f y g son funciones integrables al cuadrado en X, entonces la desigualdad dice

[matemáticas] \ izquierda | \ int_X fg \ right | ^ 2 \ leq \ int_X | f | ^ 2 \ cdot \ int_X | g | ^ 2. [/matemáticas]

Esta desigualdad es frecuentemente útil cuando se trata de resolver PDEs. Probar la existencia de soluciones de PDE a través de métodos de distribución generalmente implica probar algunas desigualdades bastante complicadas que relacionan las normas de funciones con las normas de sus derivados, y Cauchy-Schwarz a menudo es una herramienta útil para demostrar estas desigualdades.

Answer 2

Cauchy-Schwarz aparece por todas partes en probabilidad y estadísticas también. Dos ejemplos que vienen a la mente:

• La correlación entre dos variables aleatorias se encuentra entre -1 y 1. (Esto es realmente una reexpresión de Cauchy-Schwarz en lugar de una consecuencia).
• Cauchy-Schwarz es un elemento clave en la prueba del límite inferior de Cramér-Rao en la varianza de un estimador imparcial. ( http://en.wikipedia.org/wiki/Cra …).

Answer 3

Utilizando la identidad de Parseval y la desigualdad de Cauchy-Schwarz son tan
Frecuente en los argumentos analíticos de Fourier que apenas se señalan
en toda la literatura

Muchos resultados en la teoría de grafos extremos se pueden probar mediante la combinación de un argumento de conteo con la desigualdad de Cauchy-Schwarz. [1]

La desigualdad de Cauchy-Schwarz, se mantiene en cualquier espacio anterior a Hilbert

La desigualdad triangular para el producto interno a menudo se muestra como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. [2]

Una aplicación fácil de la desigualdad triangular muestra que las incrustaciones de baja distorsión de las métricas generales en la línea [3] es una contracción. Es decir, para dos puntos xey en X, en cada dimensión, la distancia entre xy
y es menor que d (x, y).

Al probar la desigualdad de Hölder , una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de espacios Lp .

La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el espacio de Hilbert de los observables cuánticos.
La prueba del teorema de von Neumann generalizado (1932) se basa en un argumento de inducción, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y el lema de van der Corput [necesitamos una variación espacial de Hilbert de este lema]

Mediante repetidas aplicaciones de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la
De fi niciones de las normas, se obtiene la desigualdad de Gowers Cauchy-Schwarz.

Para formalizar seminarios, se procede derivando una versión de Cauchy-Schwarz y usándola para mostrar subaditividad.

La formalización de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se utiliza para establecer que la distancia de comunicación de la línea de visión es pseudométrica, mientras que se modelan protocolos de seguridad del mundo real.

1. Ejemplo : cada desigualdad lineal entre densidades de subgrafo que se mantiene asintóticamente para todos los gráficos tiene una prueba formal en el siguiente sentido: puede ser aproximada arbitrariamente bien por otra desigualdad válida que es una “suma de cuadrados” en el álgebra de gráficos parcialmente etiquetados.
2. favorito personal
3. usado para aproximar el llamado problema de corte más escaso

Fuente: Varias notas de clase en mi Dropbox (producto), se puede buscar y verificar todo lo anterior.
Advertencia: esta lista no es exhaustiva de ninguna manera.

Answer 4

Si piensa en las a y b como las coordenadas de dos vectores … entonces el lado menor es un producto interno, donde puede haber cancelación dependiendo del ángulo entre los dos vectores; pero el lado más grande es simplemente el producto de las longitudes de los dos vectores y, por lo tanto, es fijo. Cuando los dos vectores son paralelos, no se produce ninguna cancelación, por lo que los dos lados de la desigualdad son iguales.