Cómo derivar la fórmula para el número total de pares de subconjuntos desordenados de un conjunto que tiene elementos [math] n [/ math]

Answer 1

Si entendí la pregunta correctamente, desea contar el número de pares desordenados donde cada elemento del par es un subconjunto de un conjunto, llamémoslo [math] A [/ math], con [math] n [/ math] elementos.
Si este es el caso, entonces si [matemática] A = \ {a, b, c, d \} [/ matemática] entonces algunos pares válidos son:

[matemáticas] \ {a, b \}, \ {c, d \} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ {a \}, \ {a, c \} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ {\}, \ {c \} [/ matemáticas]

Sin embargo, también estoy considerando que los pares de la siguiente forma no son válidos

[matemáticas] \ {b, c \}, \ {b, c \} [/ matemáticas]

Si está buscando pares disjuntos o pares no vacíos, puede encontrar la respuesta aquí .

Para contar estos pares, necesitamos saber las siguientes 2 cosas (no las voy a explicar en esta pregunta, pero me vincularé a donde han sido respondidas).

• ¿Cuántos subconjuntos hay de un conjunto con n elementos? Respuesta: [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas]
• ¿Cuántos pares desordenados podemos hacer de un conjunto con elementos [math] m [/ math]? Respuesta: [matemáticas] \ binom {m} {2} = m (m-1) / 2 [/ matemáticas].

Usando estos dos hechos, necesitamos contar pares desordenados de todos los subconjuntos de [math] A [/ math], y hay [math] m = 2 ^ n [/ math] de esos. Ahora, forme estos elementos [matemáticos] m [/ matemáticos] que podemos formar [matemáticos] m (m-1) / 2 = (2 ^ n) (2 ^ n-1) / 2 = 2 ^ {n-1} (2 ^ n-1) [/ math] pares desordenados.