¿Cuál es la diferencia entre vector y tensor?

Para un matemático, un tensor es un tipo particular de vector (y un vector también es un tipo de tensor degenerado). No es que sean cosas marcadamente diferentes, per se.

Más bien, a cualquier espacio vectorial [matemático] V_1, V_2, … [/ matemático], se puede asociar de manera única otro espacio vectorial [matemático] V_1 \ otimes V_2 \ otimes … [/ matemático], llamado su “producto tensorial”, con el propiedad que los mapas lineales del producto tensorial corresponden a mapas multilineales fuera de los espacios originales. Entonces, los vectores en [matemáticas] V_1 \ otimes V_2 \ otimes … [/ matemáticas] son ​​lo que se conoce como “tensores”, pero esta es solo una forma de describir cómo se relacionan con los vectores en los espacios originales [matemáticas] V_1, V_2, … [/ math], en lugar de una propiedad intrínseca. También se podría (generalmente como no matemático) elegir reservar la palabra “vector” para los vectores en los espacios originales y no usarla para describir vectores en los espacios tensoriales, pero esto es, nuevamente, una designación relativa, en lugar de Una observación de las diferencias intrínsecas.

(La mayoría de las veces, en física, los tensores que le interesan viven en los productos tensoriales de múltiples copias de un solo espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] y múltiples copias de su espacio dual; el número de copias de cada uno da los llamados rangos contravariante y covariante del producto tensorial)

Vector

Cualquier cantidad que tenga magnitud y dirección se llama vector. La velocidad, la aceleración y la fuerza son algunos ejemplos de vectores mecánicos.

si desea cambiar solo la magnitud de un vector sin cambiar su dirección, optará por la multiplicación del vector con una cantidad escalar.

En caso de que desee crear un nuevo vector con una magnitud y dirección diferentes (que el vector inicial), entonces debe multiplicar el vector inicial con otro tipo de entidad matemática llamada tensor.

El tensor es una forma más generalizada de escalar y vector. O, el vector escalar, son los casos especiales de tensor.

  • Si un tensor tiene solo magnitud y ninguna dirección (es decir, tensor de rango 0), entonces se llama escalar.
  • Si un tensor tiene magnitud y una dirección (es decir, tensor de rango 1), entonces se llama vector.
  • Si un tensor tiene magnitud y dos direcciones (es decir, tensor de rango 2), entonces se llama díada.
  • Y así…
  • Tensor es la forma generalizada de vectores y escalares. Todas las matrices no pueden ser un tensor unitario; Para ser un tensor, los elementos de la matriz deben seguir ciertas relaciones entre sí. Un vector puede rotarse multiplicándolo por una matriz de rotación.

Referencia: vectores mecánicos, rotaciones y tensores

Un tensor es una generalización de un vector (no una matriz, exactamente).

Un vector es una tupla que obedece las leyes de transformación correctas, por ejemplo, si realiza una rotación representada por la matriz R, el nuevo vector V ‘= RV. Un tensor es una generalización de esto a más dimensiones. Se necesita una copia de R para cada rango del tensor. Un tensor de rango 2 (representable como , pero no es lo mismo que una matriz bidimensional) se transforma con 2 copias de R. T ‘= RRT (una que actúa en cada índice, si lo desea). Podría pertenecer al producto tensorial de los espacios vectoriales y los duales de esos espacios vectoriales, lo que coloca algunas de las ‘R’ al otro lado de la ‘T’. Los detalles siguen en cualquier tratamiento formal.

Un tensor de rango 1 es lo que llamamos un “vector”.

Para los físicos, los tensores y los vectores, y solo los tensores y los vectores, representan cantidades físicamente significativas, que tienen que transformarse adecuadamente con el sistema de coordenadas o obtendría una física diferente cuando mira el sistema desde una dirección diferente.

Tensor es una generalización de escalares y vectores. Describen la relación geométrica entre escalar-escalar, escalar-vector, vector-vector e incluso otros tensores. En general, se representan como matrices multidimensionales, por lo que generalmente las tratamos con el rango de esa matriz / matriz.
• Escalar: Tensor de rango 0. (solo magnitud – 1 componente)
• Vector: Tensor de rango 1. (magnitud y una dirección – 3 componentes)
• Dyad: Tensor de rango 2. (magnitud y dos direcciones – 32 = 9 componentes)
• Tríada: Tensor de rango 3. (magnitud y tres direcciones – 33 = 27 componentes)

Me pregunto si consideramos la presión como un tensor. La tensión y la tensión se pueden considerar como tensores.

Como se dijo, el vector es un tensor de rango 1

Dan Fleish explica qué vectores y tensores sin todas las matemáticas complicadas.

Las cantidades físicas que varían en dos direcciones diferentes se describen adecuadamente como tensores. Me gusta visualizar los tensores como la superficie de un cubo (similar a visualizar un vector como una flecha): cada cara del cubo tiene 3 direcciones asociadas, una normal y dos tangenciales.

Referencia ¿Qué es la cantidad de tensor?

Una cantidad tensorial es una cantidad física que no tiene una dirección especificada, sino diferentes valores en diferentes direcciones. P.ej. Momento de inercia (el momento de inercia es un tensor porque involucra dos direcciones: el eje de rotación y la posición del centro de masa (wrt, el eje de rotación)).

Los siguientes enlaces también pueden ayudar.

Tensor – de Wolfram MathWorld

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12

En lenguaje sencillo
Un vector tiene dirección y magnitud y obedece las leyes de la suma de vectores.
Por ejemplo: – Fuerza.
Un tensor tiene magnitud y dirección, pero no obedece las leyes de la suma vectorial.
Por ejemplo: -Tiempo, corriente eléctrica.

Un vector es un tipo específico de tensor. En particular, es un tensor unidimensional. Un vector te da una magnitud y una dirección. Un tensor bidimensional, como el tensor de tensión, le dará una magnitud y dos direcciones, por ejemplo, el tensor de tensión le proporciona la dirección de una fuerza y ​​la orientación del área de superficie sobre la que actúa.

El tensor involucra (> 1) direcciones [1] como un vector involucra (= 1 dirección) y (la anisotropía , eje principal del tensor) invariante a la rotación del sistema de coordenadas como un escalador (involucra 0 dirección) . p.ej

Puntos de campo eléctrico en 1 dirección.
pero
Susceptibilidad (dependiendo del componente por componente en 2 direcciones: 1 de campo eléctrico y 1 de polarización)
o
Estrés (depende de las 2 direcciones de la fuerza y ​​el área)

En otras palabras :
Si los tensores en los ejemplos anteriores (n = 2) son simétricos, se pueden ver como un elipsoide que involucra 3 vectores propios (cada uno descrito con 3 vectores unitarios y 3 números) y 3 valores propios:

mientras que un vector involucra 3 vectores unitarios y solo 3 números.
[1] [matemáticas] 3 ^ n [/ matemáticas] números: [matemáticas] n [/ matemáticas] direcciones.

En términos simples, los vectores tienen magnitud y dirección y siguen las leyes de la suma de vectores. Ej. Velocidad, aceleración.

Mientras que las cantidades de tensor tienen magnitud y dirección, pero no siguen las leyes de la suma de vectores.

Por ejemplo, corriente eléctrica, que tiene dirección pero no sigue las leyes de la suma de vectores.

Tensor es la cantidad que depende de tres parámetros y son la magnitud, la dirección y el plano, pero el vector depende solo de la magnitud y la dirección. La presión no es la cantidad tensora. Un ejemplo de la cantidad de tensor es el estrés.

El vector tiene tanto la dirección como la magnitud ex. El vector pero el tensor tiene dirección de magnitud y tensión ex plana

Un vector es un tensor de una dimensión.

Referencia Comenzando con TensorFlow | TensorFlow, párrafo Tensores.