En una clase de 26 estudiantes, la calificación promedio es 25. La calificación más baja es 18 y la más alta es 30. ¿Cuál es la segunda calificación más baja?

No hay suficiente información para decir. Si asumió alguna distribución en particular, digamos una distribución normal, entonces probablemente podría derivar una distribución para el segundo valor más bajo dado que los valores más bajos y más altos fueron los especificados, pero solo sería una distribución de probabilidad: no hay una respuesta única.

Y mi padre y yo aprendimos por las malas que una distribución normal generalmente no es una buena suposición para obtener calificaciones en una clase. En un momento en Queensland, Australia, se dieron calificaciones de 1 a 7 calculadas en términos de desviaciones estándar por encima de la media. Mi padre, un profesor de inglés, vino a mí desesperado, porque había dos excelentes estudiantes que no obtenían un 7 a pesar de que claramente lo merecían. Resultó que había dos niños en la clase que casi nunca aparecían y tenían marcas abismales. Por lo tanto, la distribución tenía una “cola izquierda larga” y una desviación estándar inflada. Sugerí darles a los que abandonaron 10 marcas adicionales gratis, nunca se quejarían, y, efectivamente, los niños inteligentes salieron a un 7.

No podemos saberlo porque no tenemos suficiente información.

El problema es que hay un montón de posibles respuestas que dan los mismos resultados.

Para facilitar un poco las matemáticas, voy a imaginar que el promedio fue de 25, el más alto de 30 y el más bajo de 20 (en lugar de 18.) Esto no cambia el principio matemático, pero hace que el trabajo sea mucho más fácil.

Posibilidad uno

  • Deke (uno de los estudiantes tontos de la película de 2001 “Evolution”) obtuvo 20.
  • Hermione (sí, esa) anota 30.
  • Todos los demás obtienen 25.
  • —-> El promedio es por lo tanto 25.

Posibilidad dos

  • Deke anota 20
  • Danny (de la misma película) anota 21
  • Hermione anota 30
  • Bruce Banner anota 29
  • Todos los demás puntúan 25
  • —-> El promedio es por lo tanto 25.

Posibilidad tres

  • Deke anota 20
  • 12 estudiantes puntúan 21
  • Hermione anota 30
  • 12 estudiantes puntúan 29
  • —-> El promedio es por lo tanto 25.

… Hay muchas más posibilidades.

Lo que las estadísticas proporcionan es una forma de delinear los datos para mostrar aproximadamente si tenemos un gran grupo en el medio y pocos valores atípicos (en cualquier dirección), o un abultamiento gradual.

Si teníamos alguna idea de la forma (puntiaguda o abultada), entonces podemos hacer una estimación …

… pero eso es una estimación, no una garantía. Las estadísticas nos darán una respuesta como “hay un 97% de confianza de que la segunda calificación más alta estuvo en el rango 27-29” … pero no puede decir “la segunda calificación más alta fue 28 1/2”

No use lo normal, no conoce la desviación estándar. Puede estimarlo en función del rango. Luego, use la simulación de Student T y Monte Carlo.

Llegará a una función de densidad de probabilidad para el segundo grado más bajo. Condicional a los resultados más probables que satisfagan las condiciones actuales.