Supongo que los campos eléctricos deben calcularse en puntos en el eje y cuyas coordenadas son (0, r, 0) y (0, -r, 0). Entonces el campo eléctrico en (0, r, 0) debido a las cargas en el eje y es [matemática] \ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} (ra) ^ {2}} \ hat { j} + \ frac {-Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} (r + a) ^ {2}} \ hat {j} [/ math]. Para calcular el campo eléctrico debido a las cargas en el eje z, vemos que el vector unitario de (0,0, a) a (0, r, 0) es [matemáticas] \ frac {r \ hat { j} -a \ hat {k}} {\ sqrt {r ^ {2} + a ^ {2}}} [/ math], y el vector unitario de (0,0, -a) a (0, r , 0) es [math] \ frac {r \ hat {j} + a \ hat {k}} {\ sqrt {r ^ {2} + a ^ {2}}} [/ math]. Entonces, el campo eléctrico en (0, r, 0) debido a las cargas en el eje z es [matemáticas] \ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} (a ^ {2} + r ^ { 2}) ^ {3/2}} (r \ hat {j} -a \ hat {k}) + \ frac {-Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} (a ^ {2} + r ^ {2}) ^ {3/2}} (r \ hat {j} + a \ hat {k}) [/ math]. Entonces, el campo eléctrico total en (0, r, 0) es [matemáticas] \ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} (ra) ^ {2}} \ hat {j} [/ matemáticas] [ matemáticas] + \ frac {-Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} (r + a) ^ {2}} \ hat {j} + \ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} (a ^ {2} + r ^ {2}) ^ {3/2}} (r \ hat {j} -a \ hat {k}) + \ frac {-Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} ( a ^ {2} + r ^ {2}) ^ {3/2}} (r \ hat {j} + a \ hat {k}) = \ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} ( ra) ^ {2}} \ hat {j} + \ frac {-Q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} (r + a) ^ {2}} \ hat {j} – \ frac {2aQ} { 4 \ pi \ epsilon_ {0} (a ^ {2} + r ^ {2}) ^ {3/2}} \ hat {k} [/ math].
El campo eléctrico en (0, -r, 0) se puede calcular de manera similar.