¿Alguien podría explicar lo que las matemáticas de nivel superior trata con un estudiante de secundaria en términos comprensibles?

Answer 1

La matemática de posgrado es muy abstracta.

Las matemáticas de nivel de posgrado en un subcampo pueden ser difíciles de entender incluso para matemáticos de nivel de posgrado en otro subcampo. Así es como se pueden volver las matemáticas abstractas y esotéricas de nivel superior. Las matemáticas de nivel de posgrado y superiores pueden volverse muy raras y extrañas.

Un amigo matemático me lo dijo de esta manera: las matemáticas son el estudio de la estructura.

Eso probablemente no ayuda.

Aquí hay una forma de pensar sobre la transición de las matemáticas de la escuela secundaria a las matemáticas de nivel de posgrado:

La matemática desde la escuela primaria hasta la escuela secundaria y la universidad temprana se trata básicamente de aprender a resolver problemas. Al principio, los problemas son cosas como la suma y la multiplicación, luego el álgebra y la geometría, luego la trigonometría y el cálculo. Hay reglas y aprendes a aplicarlas. Al principio de la universidad, esto continúa con temas como ecuaciones diferenciales y álgebra lineal.

Pero luego las matemáticas cambian.

La matemática realmente avanzada ya no se trata de ecuaciones, aunque todavía existen. La matemática avanzada se trata de sistemas conceptuales abstractos. Estos sistemas son difíciles de entender porque realmente no se conectan a nada concreto, excepto a través de muchas capas conceptuales de indirección. Los conceptos a menudo no se pueden entender a menos que se entiendan los conceptos que se encuentran debajo de ellos.

Para dar un ejemplo, “infinito” es una idea abstracta. No existe el infinito. Pero puede definirse matemáticamente de una manera útil y luego usarse, como 1/0 = infinito (más o menos). ¿Pero qué pasa con el infinito por el infinito? ¿O infinito al poder infinito? ¿Son estos más grandes que el infinito? ¿Cómo lo decidirías?

O considere las dimensiones. Puede tener 1, 2 o 3 dimensiones espaciales, pero ¿qué pasa con 4 o 5? ¿O qué hay de las dimensiones “N” donde N es 1000 o 1 millón? ¿Qué pasa con las dimensiones infinitas? ¿Qué significa esto?

¿Qué pasaría si un espacio N dimensional pudiera transformarse en otro espacio N dimensional … podría esa transformación realizarse de manera continua y sin problemas con el tiempo sin “rasgaduras” o interrupciones? Los matemáticos piensan en este tipo de cosas, mientras que los demás no tienen idea de lo que están hablando.

Answer 2

Solo puedo responder a estas preguntas como B. Sc. en Matemática Aplicada, así que aquí está mi intento. Primero necesitas lo básico. En matemáticas, eso puede ser mucho y puede variar entre los muchos campos de estudio, pero para comenzar con algo, vamos a nombrar: cálculo, geometría y álgebra.

El cálculo es el estudio del cambio e implica diferenciación e integración. Como era de esperar, es uno de los campos más aplicados en matemáticas. Puede ser desde cambios en la velocidad o fluidos, hasta precios en una economía. La geometría es el estudio de las formas y el espacio. En particular, la geometría analítica ayuda a ver los problemas de una manera gráfica que puede aportar nuevas soluciones: como minimizar los costos de transporte o maximizar la utilidad de los consumidores. El álgebra es el estudio de los símbolos y cómo manipularlos. Puede decirle cómo se comportan la suma y el producto en diferentes entornos. El álgebra lineal, por ejemplo, es una forma de abstraer el comportamiento de los espacios cuando sus dimensiones son altas.

Después de comprender un poco de estas ramas y comprender la intuición y las formalidades necesarias para comprender las pruebas, puede pasar gradualmente a disciplinas superiores. Por ejemplo, el cálculo puede “evolucionar” en análisis matemático que mi profesor, en broma, definiría como el arte de decir lo que es obvio. Por lo general, es el primer tema pesado en una carrera de matemáticas. Allí puede aprender a aproximar funciones (teoría de aproximación) y contar infinitos, porque hay infinitos infinitos diferentes (número de Aleph). La geometría puede convertirse en topología, donde puede definir que algo sea igual a otra cosa si se puede estirar o doblar. Entonces una taza es lo mismo que una rosquilla.

Las ramas pueden volverse muy abstractas, como la teoría de la Medida (matemática) en la que intentas decir qué tan grande es un conjunto. Pero si los conjuntos que está midiendo explican la incertidumbre, entonces estamos hablando de la teoría de la probabilidad, que puede ser muy aplicada. Por ejemplo, al usarlo junto con estadísticas matemáticas. Esta rama intenta explicar la variabilidad en los datos cuando estos datos provienen de un proceso estocástico. Sin embargo, si el proceso es determinista pero las pequeñas perturbaciones en las condiciones iniciales conducen a grandes cambios, entonces puede estar hablando de la teoría del Caos.

Las matemáticas pueden ser acerca de cómo usar una computadora con memoria finita para representar los números de la línea real, que aunque pueden no ser un gran infinito, siguen siendo infinitos, y usarlos para optimizar soluciones a problemas particulares (análisis numérico). O las matemáticas pueden ser tan abstractas como para tratar de probar si las matemáticas son consistentes (teoremas de incompletitud de Gödel). O un concepto aparentemente tan fácil de entender como un juego (teoría de juegos) puede abstraerse de tal manera que se convierta en un axioma de algún tipo particular de matemáticas (axioma de determinación).

Las ramas de las matemáticas son tan vastas que cualquier matemático puede decirte un universo diferente de conceptos que estudian.

Answer 3

El aprendizaje es un proceso incremental. Una vez que dominas un nivel, avanzas al siguiente. No se puede omitir ningún nivel. De hecho, está perdido debido a la intersección de temas menos inmediata.

Algunas de las ramas populares de las matemáticas son álgebra, análisis, teoría de números, teoría de grafos, cálculo, teoría de juegos, complejidad, etc. Estos son algunos de los temas preferidos por los ingenieros eléctricos y de computadoras. Hay una gran lista de temas de matemáticas en Wikipedia Glosario de áreas de matemáticas.

Si desea aprender algunas matemáticas superiores, tendrá que elegir algo que requiera un mínimo de antecedentes o esté cerca de las matemáticas de la escuela secundaria que ya conoce. Por ejemplo, puede leer un texto básico sobre álgebra lineal que supongo que podrá comprender.

Answer 4

Comparto el punto de vista de Paul Graham de que las matemáticas se pueden describir naturalmente como la parte de la filosofía que se puede precisar, como se explica en este ensayo: Cómo hacer filosofía

“La matemática es la mitad precisa de las ideas más abstractas, y la filosofía la mitad imprecisa”.