¿Cuáles son las diferencias fundamentales entre los números [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] -i [/ matemáticas]?

Answer 1

Oof Esto se está metiendo en un problema filosófico muy espinoso, conocido como la identidad de los indiscernibles.

En la lógica de primer orden con igualdad, hay un par de esquemas de axiomas estándar que se utilizan para la igualdad, a saber

1. Para cada variable [math] x [/ math], [math] x = x [/ math],
2. Para cada función [matemática] f [/ matemática], [matemática] x = y [/ matemática] implica [matemática] f (x) = f (y) [/ matemática], y
3. Para cada predicado [matemática] P [/ matemática], [matemática] x = y [/ matemática] implica [matemática] P (x) = P (y) [/ matemática].

Me concentraré en la última, que se conoce como la indiscernibilidad de los idénticos: dice, de manera indiscutible, que si dos cosas son realmente la misma cosa, entonces tienen las mismas propiedades.

Ahora, tenemos que examinar lo contrario de esta declaración, que es la identidad de los indiscernibles, que dice que si dos cosas tienen las mismas propiedades, de hecho son lo mismo.

Esta es una idea mucho más controvertida. Leibniz trató de usar esto como la definición de igualdad, pero Leibniz era un poco extraño: afirmó que no había dos objetos en el universo que fueran iguales. En particular, sospecho que si alguien hubiera formulado la idea de partículas fundamentales (cuyas propiedades físicas son, lo más cercanas a lo que podemos medir, idénticas) para él, probablemente la habría rechazado.

Filósofos más modernos como Max Black han argumentado en contra de la identidad de los indiscernibles sobre la base de la simetría. Hay una discusión filosófica muy interesante sobre este punto, pero soy matemático, no filósofo, por lo que intentaré dar mi propia opinión sobre el lado lógico de este argumento, en lugar del lado ontológico . Específicamente, no me voy a preocupar sobre cuál es la forma correcta de modelar la verdad en nuestro universo; más bien, quiero dar una resolución puramente sintáctica a esta pregunta, en el marco de la lógica de primer orden.

La indiscernibilidad de los idénticos no es realmente un axioma, es lo que se llama un esquema de axioma . Es decir, es una plantilla general mediante la cual agregamos axiomas. La idea es que, para cualquier propiedad que tengamos que tener en cuenta en nuestro universo matemático, agreguemos una copia de este esquema de axioma para cada una de esas propiedades.

Por el contrario, la identidad de los indiscernibles no puede expresarse adecuadamente como un esquema de axioma. Es más obvio que la interpretación ni siquiera es una declaración en la lógica de primer orden; más bien, es una declaración en la lógica de segundo orden, porque necesariamente tenemos un cuantificador sobre todos los predicados.

Entonces, ¿qué significa eso para el matemático? Significa que probablemente no tenga mucho sentido preguntar si la identidad de los indiscernibles es verdadera a menos que decida qué universo matemático está considerando, en particular, depende del tipo de propiedades que esté dispuesto a incluir. Dependiendo de las propiedades que elija, la identidad de los indiscernibles puede muy bien ser falsa .

Esto nos lleva, finalmente, a considerar [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] -i [/ matemáticas]. Si las únicas propiedades que estamos interesados ​​en estudiar son las propiedades algebraicas (en este caso, propiedades que pueden expresarse en términos de preguntas sobre los campos) sin referencia a ningún elemento fijo (por ejemplo, la propiedad “[matemáticas] x = i [/ matemática] “no es kosher, porque hace referencia a un elemento fijo que no hemos definido de otra manera), entonces la identidad de los indiscernibles es falsa.

¿Por qué? Debido a que hay un campo de isomorfismo [matemáticas] a + bi \ mapsto a – bi [/ matemáticas], que conserva todas las diversas identidades de suma y multiplicación. Y, por supuesto, este campo de isomorfismo intercambia [matemática] i [/ matemática] y [matemática] -i [/ matemática], por lo que cualquier propiedad [matemática] P [/ matemática] es verdadera para [matemática] i [/ matemática ] también debe ser cierto para [math] -i [/ math]. Compare eso con, digamos, [matemática] 1 [/ matemática], que podemos distinguir aparte de [matemática] i [/ matemática] porque [matemática] 1 [/ matemática] es el elemento único tal que [matemática] 1 \ cdot x = x [/ math] para cualquier [math] x [/ math]. Como [math] i [/ math] no tiene esta propiedad, por la indiscernibilidad de los idénticos, no puede ser lo mismo que [math] 1 [/ math].

Ahora, antes de concluir que esta es una propiedad sorprendente de los números complejos, debo señalar que sorprendentemente exactamente lo mismo es cierto para [math] \ sqrt {2} [/ math]: existe un isomorfismo de campo [math] a + b \ sqrt {2} \ mapsto a – b \ sqrt {2} [/ math] (aquí [math] a, b [/ math] mejor que sean números racionales, en lugar de números reales, sin embargo, de lo contrario, somos va a ser muy difícil definir este isomorfismo), que intercambia [math] \ sqrt {2} [/ math] y [math] – \ sqrt {2} [/ math].

La salida en ambos casos es vagamente la misma: ampliar el tipo de propiedades que está dispuesto a considerar. En el caso de [math] \ sqrt {2} [/ math], es típico considerar no solo las propiedades de un campo, sino también de un campo ordenado . Una vez que tenga el concepto de orden, puede especificar que [math] \ sqrt {2} [/ math] es el que es más grande que [math] 1 [/ math], mientras que [math] – \ sqrt {2} [/ math] es más pequeño. En el caso de [math] i [/ math], podemos agregar la noción de orientación o ángulo, y especificar que [math] i [/ math] está en un ángulo contrario a las agujas del reloj de [math] 1 [/ math].

Answer 2

Gracias por la pregunta, HariPrasad Poilath.

Tendremos que adoptar un enfoque muy formal a esta pregunta, comenzando desde las construcciones de los números complejos.

La primera construcción y la más utilizada define que los números complejos son pares ordenados [matemática] (a, b) [/ matemática] tal que [matemática] (a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) [/ math] y [math] (a_1, b_1) \ cdot (a_2, b_2) = (a_1a_2-b_1b_2, a_1b_2 + b_1a_2) [/ math]. En esta construcción, hay una clara distinción entre [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] -i [/ matemáticas]. [matemática] i [/ matemática] corresponde a [matemática] (0,1) [/ matemática] mientras que [matemática] -i [/ matemática] corresponde a [matemática] (0, -1) [/ matemática].

La otra definición convencional es puramente algebraica y considerablemente más elegante: [matemáticas] \ C = \ R [i] / \ langle i ^ 2 + 1 \ rangle [/ matemáticas], el cociente del anillo polinomial [matemáticas] \ R [i] [/ math] con [math] i ^ 2 + 1 [/ math]. Para una explicación desde cero, uno podría mirar mi publicación La construcción algebraica de los números complejos. La diferencia aquí es puramente formal , porque [math] i [/ math] es un anónimo indeterminado en la construcción, y no se distingue de [math] -i [/ math] ni por [math] \ R [i] [/ math ] o por [matemáticas] i ^ 2 + 1 [/ matemáticas], y por lo tanto también en [matemáticas] \ C [/ matemáticas].

Dependiendo de la definición que use, hay una diferencia clara y obvia entre [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] -i [/ matemáticas], o una que es mucho más incierta.

Editar: Jake Chateau me ha llamado la atención sobre que la última parte está muy mal redactada. Ha sido editado para eliminar las peores imprecisiones. Lo que quise decir era que la segunda construcción no distingue directamente entre un número complejo y su conjugado, debido al hecho de que la definición no difiere para [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] -i [/ matemáticas].

Answer 3

¿Cuáles son las diferencias fundamentales entre los números i y -i?

i es el vector (0,1) y -i es el vector (0, -1)

Hace varias décadas, cuando supe por primera vez sobre los números complejos, realmente no me gustaron mucho, porque me los describieron de manera confusa y enrevesada.
Me gustaría aprovechar esta oportunidad para explicar la causa raíz de esta confusión y cómo otros pueden evitarla fácilmente.

Los números complejos son simplemente vectores bidimensionales para los cuales se ha definido un algoritmo de multiplicación. El producto de dos números complejos (a, b) y (c, d) se define como (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdii = ac + bci + adi – bd = (ac -bd, bc + ad)

El producto (ac-bd, bc + ad) de (a, b) y (c, d) tiene una interpretación geométrica. Es el vector bidimensional cuya longitud es el producto de las longitudes de los vectores (a, b) y (c, d), y que forma un ángulo con el eje horizontal del sistema de coordenadas, que es la suma de los ángulos que cada uno de (a, b) y (c, d) se forman con ese mismo eje horizontal.

Entonces, en resumen, para multiplicar números complejos, simplemente agrega los ángulos y multiplica las longitudes.

Resulta que si define la multiplicación de vectores bidimensionales de esta manera loca, y utiliza la suma de vectores ordinarios como su operación de suma, entonces puede hacer aritmética con vectores bidimensionales, al igual que con los números reales. Todas las reglas familiares del álgebra, como las leyes asociativas, conmutativas y distributivas, son válidas. Al igual que los números reales, los números complejos son un campo. Para números reales, la identidad multiplicativa (que puede multiplicar a cualquier número para dejarla sin cambios) es el número 1 y la identidad aditiva (que puede agregar a cualquier número real para dejarla sin cambios) es el número 0. Para números complejos la identidad multiplicativa es el vector (1,0) y la identidad aditiva es el vector (0,0).

El párrafo anterior implica que puede evaluar polinomios, como x al cubo + 3 veces x al cuadrado + x, para cualquier número complejo al igual que para un número real.

Y ahora el gran final, que hace que los números complejos sean fáciles de entender:

No denoto la raíz cuadrada del número real -1

El número real -1 no tiene raíz cuadrada.

i denota el vector (0,1) y es la raíz cuadrada del vector (-1,0)

El vector (-1,0) no es el mismo que el número real -1. Tienen diferentes tipos de datos.

Los números complejos cuya primera coordenada es cero, no son más imaginarios que los números reales. La palabra imaginaria es una elección desafortunada de terminología, que combinada con la afirmación ampliamente difundida y engañosa de que i se define como la raíz cuadrada de -1, y se llama imaginaria porque no existe tal cosa y, por lo tanto, tenemos que fingir que existe , ha sido y sigue siendo, la fuente de mucha confusión innecesaria.

Habiendo dicho todo eso, la declaración i es la raíz cuadrada de -1, es una declaración verdadera si está usando -1, simplemente como un apodo para el vector (-1,0), y si considera todos los números reales como para ejemplo 3.5 como simples apodos para vectores como (3.5,0) cuyo segundo componente es cero. Si adopta el último enfoque para su axiomatización, los números reales son un subconjunto de los números complejos y son todos vectores bidimensionales.

¿Qué son los axiomas? Son solo reglas, que describen cómo se juega el juego de las matemáticas. Como las reglas del ajedrez. Si no te gusta el ajedrez, puedes definir un nuevo juego con diferentes reglas, sin embargo, no todos los juegos son igual de divertidos o útiles.

El juego de las matemáticas, tal como lo definen actualmente los matemáticos, inspirado por consideraciones prácticas como el deseo de contar ovejas, facilitar las transacciones financieras, etc., resulta bastante útil con el fin de describir fenómenos físicos reales.

¿Los números complejos son simplemente algo inventado por los matemáticos por diversión o son indispensables para describir algunos aspectos de la naturaleza física real?

Freeman Dyson escribió una vez que los números complejos son uno de los grandes chistes de la naturaleza, en el sentido de que los matemáticos piensan que los inventaron, simplemente para definir un campo que sea lo suficientemente grande como para permitirles factorizar cada polinomio, pero resulta que la naturaleza los venció al golpe, porque de hecho los números complejos son indispensables para describir los fenómenos subatómicos. Si desea obtener más información sobre por qué es así, puede disfrutar leyendo estos libros:

https://books.google.com/books?i …

https://www.amazon.com/QED-Stran …

Answer 4

Esta es una buena pregunta. Debido a que la conjugación en [math] \ C [/ math] es un automorphisn (y no solo un automorfismo de campo; también conserva las propiedades analíticas), no hay casi nada para distinguir [math] i [/ math] de [math] -i [/ math], en el sentido de las propiedades de uno no compartido por el otro que le permiten saber cuál es cuál. Esto se reduce al conjunto subyacente.

Es fácil acostumbrarse a pensar que solo le importa la estructura “hasta el isomorfismo” de un álgebra, y que no le importan los elementos del conjunto, que funcionan simplemente como marcadores de posición. En el momento en que encuentra un sistema con un automorfismo no trivial, ni siquiera puede definir los isomorfismos correctamente sin identificar específicamente “este elemento aquí” con “ese elemento allí”, o desidentificarlos.

Los números complejos son a menudo la primera estructura matemática que encuentran los estudiantes y tiene ese problema exacto, aunque no es la más simple. Los elementos de no identidad del grupo [math] Z_3 [/ math] también se comportan así.

Answer 5

Me parece que probablemente solo quieres una respuesta simple y directa.

En primer lugar, ¿cuál es la diferencia entre Z1 = 1 y Z2 = – 1?

Simplemente póngalos en un Diagrama de Argand:

En segundo lugar, ¿cuál es la diferencia entre Z1 = i y Z2 = – i?

Nuevamente, solo póngalos en un diagrama Argand:

Answer 6

Me temo que muchas de las respuestas a esta pregunta están un poco confusas.

Es muy simple: no hay una diferencia fundamental entre i y -i.

El artículo de Wikipedia sobre esto no es tan malo:

Unidad imaginaria – Wikipedia

Answer 7

Negación. Es decir, factor de -1.

Diferencia: 2 i , magnitud 2.

No debe sorprendernos que ambas sean raíces de [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas].

Answer 8

Nada en realidad. -i es solo el inverso aditivo de i.