Hay tantos problemas con este circuito, no veo ningún punto en tratar de parchearlo.
¿Qué carga estás tratando de conducir? ¿Se supone que es una matriz de LED que está clasificada para tomar 12V sin ningún otro control de corriente requerido?
Usaría un temporizador 555 en modo monoestable. Si el relé requiere más de 50 mA, use un transistor controlador en el medio. Cuando el circuito se enciende por primera vez, la salida del 555 será positiva durante aproximadamente 1.1RC.
Por un segundo, creo que 0.1uF y 10M ohm estarán lo suficientemente cerca. Use un condensador de mylar o poliéster. NO use una cerámica, a ese tamaño la estabilidad de la temperatura es terrible. NO use un electrolítico de aluminio, la fuga es demasiado alta y estropeará el tiempo.
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En este circuito, simplemente ate el pin 2, el pin Trigger, a tierra. Y no coloque un condensador en el pin 5, no tendrá tiempo para cargar y arruinará el tiempo.