La forma más simple de extender la exponenciación a todos los números complejos es usar la expansión de la función exponencial:
[matemáticas] e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas]
que, afortunadamente, converge para todos [math] x \ in \ C [/ math]. Entonces
[matemáticas] x ^ r = e ^ {r \ ln x} [/ matemáticas]
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Donde [math] \ frac {p} {q} = r \ in \ Q [/ math] se puede demostrar que
[matemáticas] x ^ r = \ sqrt [q] {x ^ p} \ equiv e ^ {r \ ln x} [/ matemáticas]
entonces la extensión se comporta ‘como se esperaba’ en los racionales y, por continuidad, en los reales. La extensión a números complejos incluye la famosa fórmula de Euler:
[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]
Tratar de imaginar la representación (cuatro dimensiones) de la función exponencial [matemática] \ C \ to \ C [/ matemática] da una perspectiva de exponenciación muy distinta de la curva exponencial simple (bidimensional) en [matemática] \ R \ to \ R [/ matemáticas].