No estoy seguro de que sea posible para polígonos con más de 4 vértices.
Estamos buscando un mapa uniforme desde el cuadrado de la unidad hasta un polígono. El mapa debe ser 1-1 y sobre de modo que cada punto en el cuadrado de la unidad se asigne exactamente a un punto en el polígono y cada punto en el polígono sea la imagen de algún punto en el cuadrado de la unidad. El mapa también debe ser “suave”, tome esto en el sentido técnico de que existen todas las derivadas.
He sido preciso en lo anterior si eliminamos una de las condiciones, entonces será posible. También he usado el cuadrado de la unidad ya que hay una transformación fácil a un rectángulo.
Podemos ver la falla de la suavidad al considerar los bordes y vértices. El borde del cuadrado debe mapearse en el límite del polígono. En particular, algún punto en el borde del cuadrado debe correlacionarse con cada vértice del polígono. Puede mapear las cuatro esquinas del cuadrado, dos, cuatro de los vértices, pero cualquier otro vértice debe ser la imagen de un punto en un borde recto del cuadrado. Aquí es donde falla la suavidad. Puede mapear una línea recta en ángulo de una manera suave.
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Para que las cosas funcionen, debemos eliminar la condición de suavidad. Para un hexágono podríamos dividirlo por la mitad en dos cuadriláteros. Podemos mapear el lado izquierdo del cuadrado en el primer cuadrilátero y el lado derecho en los segundos cuadriláteros. Puede hacer esto de manera continua, pero no será suave en el borde entre los dos.