¿Por qué el producto de tres enteros consecutivos es completamente divisible por 2?

Answer 1

Es equivalente a decir por qué es el producto de 3 enteros consecutivos incluso . Bueno, solo hay 2 configuraciones posibles para elegir tales enteros.
1. impar-par-impar
2. Par-Par-Par
Por lo tanto, seguramente encontrará al menos un número par en el producto.
¡También tenga en cuenta que el producto de cada 3 enteros consecutivos también es divisible por 3 !
Puede intentar probar la afirmación más general, según el Principio de Pigeonhole, de que el producto de cada k enteros consecutivos, es divisible por 2,3, .. k para cada entero positivo k > 1.
La diversión no termina aquí: puedes probar todo tipo de locuras. Tenga en cuenta que para una k dada, elija 2 números n, m de 2,3, .. k de modo que mcd (n, m) = 1. ¡Entonces el producto de k enteros consecutivos también es divisible por nm!
¡Diviértete explorando más posibilidades!

Answer 2

En realidad, el producto de 3 enteros consecutivos será divisible por 6, es decir, 3 !, y el producto de N enteros consecutivos siempre será divisible por N!

Es fácil probar esto ya que digamos que quieres probar que T * (T-1) * (T-2) * … * (T-N + 1) es divisible por N !, entonces solo necesitas probar que T ! / (N! * (NT)!) Es un entero, pero eso es [math] \ binom {T} {N} [/ math] por lo que es un entero.

Answer 3

Hay dos cosas que juegan un papel aquí.

1. Tres enteros consecutivos siempre contendrán un número par.
2. El producto de un número par y algún otro número entero será un número par.

No estoy seguro de cómo probar (1) sin introducir mucha notación, pero espero que sea “obvio”. Entonces me enfocaré en (2).

Un número par es cualquier número que tiene 2 como uno de sus factores. Entonces, si miramos ab ( a tiempo b ) y decimos que a es par, eso significa que a = 2 m , donde m también es un número entero. Podemos sustituir en 2 m por a y entonces ab = 2 mb , (y recordar que myb son ambos enteros)

Esto significa que ab puede dividirse por 2, dejando el resultado entero de mb .

Answer 4

El producto de cualquier DOS enteros consecutivos es divisible por 2 porque en 2 números consecutivos debe haber un número par. Multiplicar el producto par con otro número no cambia la uniformidad del mismo, pero ahora el producto es divisible por 6 , no solo 2 (¿Por qué el producto de tres enteros consecutivos es divisible por 6?)

En general, el producto de cualesquiera n enteros consecutivos debe ser divisible por n

Answer 5

Porque al menos uno de los números es par y, por lo tanto, divisible entre 2. O el del medio o los de los extremos.
Pero vea esta respuesta para más detalles y un hecho más fuerte.

Answer 6

Deje n, n + 1 yn + 2 ser enteros consecutivos.
Entonces,

n (n + 1) (n + 2) = 2 * 3 * C (n + 2, 3)