¿Cómo [math] {} ^ {n-1} C_ {r-1} + {} ^ {n-1} C_r = {} ^ nC_r [/ math] deriva de [math] {} ^ nC_r = \ frac {n!} {r! (nr)!}? [/ math]

Answer 1

Un argumento no algebraico también es bueno. nCr es la cantidad de formas de elegir r objetos entre n elecciones. Dividamos esas formas en dos grupos. El primer grupo tendrá el objeto número uno como objeto elegido. El segundo grupo no lo hará.

Primer grupo:
Entonces, ¿de cuántas maneras puedes elegir r objetos de entre n elecciones cuando el objeto número 1 ES elegido? Bueno, quedan r-1 objetos para elegir y n-1 opciones para elegir. Entonces la respuesta debe ser (n-1) C (r-1).

Segundo grupo:
Ahora, ¿de cuántas maneras podemos elegir r objetos de entre n elecciones si sabemos que el objeto 1 NO ES elegido? Bueno, hay r que deben elegirse y solo n-1 para elegir, por lo que la respuesta debe ser (n-1) Cr.

Ahora observe que ninguno de los arreglos en el primer grupo está en el segundo grupo y viceversa porque todo en el primer grupo tiene el objeto uno y nada en el segundo grupo tiene el objeto uno.

Finalmente, observe que los dos grupos se combinan para formar todas las formas posibles en las que podemos elegir r objetos de n elecciones, por lo que la suma del número de arreglos en cada grupo debe ser igual al número total de arreglos posibles: a saber, nCr.

Answer 2

Simplemente sustituya la fórmula en el LHS.
LHS = (n-1)! / ((r-1)! (nr)!) + (n-1)! / (r! (nr-1)!)
= (n-1)! / ((r-1)! (nr-1)!) * (1 / (nr) + 1 / r)
= nCr