Consideremos los conjuntos [matemática] S [/ matemática] y [matemática] R [/ matemática] con [matemática] | S | = n, | R | = m [/ matemáticas] y [matemáticas] S \ bigcap R = \ {a, b \} [/ matemáticas].
Para [matemáticas] S [/ matemáticas]:
Número de subconjuntos: [matemática] 2 ^ {n} [/ matemática]
Número de subconjuntos que contiene a y no b: [matemáticas] 2 ^ {n-2} [/ matemáticas]
Número de subconjuntos que contiene b y no a: [matemáticas] 2 ^ {n-2} [/ matemáticas]
Número de subconjuntos que contiene ayb: [matemática] 2 ^ {n-2} [/ matemática]
Similar para el conjunto [matemática] R [/ matemática].
Ahora, tenemos algunas formas de elegir subconjuntos para compartir al menos un elemento.
-Elija un subconjunto de [matemáticas] S [/ matemáticas] que contiene [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] y elija un subconjunto de [matemáticas] R [/ matemáticas] que también contenga [matemáticas ] a [/ math] y [math] b [/ math].
La probabilidad es [matemáticas] \ frac {2 ^ {n-2}} {2 ^ n} * \ frac {2 ^ {m-2}} {2 ^ m} = \ frac {1} {4} * \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}. [/ Math]
[matemáticas] (Pr (A \ bigcap B = \ {a, b \}) = \ frac {1} {16}) [/ matemáticas]
-Elija un subconjunto de [math] S [/ math] que contenga solo [math] a [/ math] y elija un subconjunto de [math] R [/ math] que también contenga solo [math] a [/ math]. La probabilidad es [matemáticas] \ frac {2 ^ {n-2}} {2 ^ n} * \ frac {2 ^ {m-2}} {2 ^ m} = \ frac {1} {4} * \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}. [/ Math]
-Elija un subconjunto de [math] S [/ math] que contiene solo [math] a [/ math] y elija un subconjunto de [math] R [/ math] que contiene [math] a [/ math] y [math ] b [/ matemáticas]. La probabilidad es [matemáticas] \ frac {2 ^ {n-2}} {2 ^ n} * \ frac {2 ^ {m-2}} {2 ^ m} = \ frac {1} {4} * \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}. [/ Math]
-Elija un subconjunto de [matemáticas] S [/ matemáticas] que contiene [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] y elija un subconjunto de [matemáticas] R [/ matemáticas] que contenga solo [matemáticas ] a [/ matemáticas]. La probabilidad es [matemáticas] \ frac {2 ^ {n-2}} {2 ^ n} * \ frac {2 ^ {m-2}} {2 ^ m} = \ frac {1} {4} * \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}. [/ Math]
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En resumen, obtenemos [math] \ frac {3} {16} [/ math], probabilidad de que 2 subconjuntos compartan solo [math] a [/ math].
[matemáticas] (Pr (A \ bigcap B = \ {a \}) = \ frac {3} {16}) [/ matemáticas]
Similar para [matemática] b [/ matemática], la probabilidad de que 2 subconjuntos compartan solo [matemática] b [/ matemática] es [matemática] \ frac {3} {16} [/ matemática].
[matemáticas] (Pr (A \ bigcap B = \ {b \}) = \ frac {3} {16}) [/ matemáticas]
La respuesta es
[matemáticas] Pr (A \ bigcap B = \ {a, b \}) [/ matemáticas] [matemáticas] + Pr (A \ bigcap B = \ {a \}) + Pr (A \ bigcap B = \ {b \}) [/ math] [math] = \ frac {1} {16} + \ frac {3} {16} + \ frac {3} {16} = \ frac {7} {16} [/ math]