¿Cuáles son los valores de [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] de modo que [math] n ^ 5-4 [/ math] es un cuadrado perfecto?

Answer 1

Queremos resolver la ecuación [matemáticas] n ^ 5 – 4 = m ^ 2 [/ matemáticas] en números naturales [matemáticas] n, m [/ matemáticas].

Si observa los valores posibles de [matemáticas] n ^ 5 \ pmod {11} [/ matemáticas], descubrirá que solo puede ser congruente con [matemáticas] 0 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 [ / matemáticas] o [matemáticas] 10 [/ matemáticas]; por lo tanto, [matemáticas] n ^ 5 – 4 \ pmod {11} [/ matemáticas] es congruente con [matemáticas] 7 [/ matemáticas], [matemáticas] 8 [/ matemáticas] o [matemáticas] 6 \ pmod {11} [ /matemáticas]. Por otro lado, los valores posibles de [matemáticas] m ^ 2 \ pmod {11} [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] 0 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 [/ matemáticas ], [matemáticas] 4 [/ matemáticas], [matemáticas] 5 [/ matemáticas], [matemáticas] 9 [/ matemáticas]. Por lo tanto, para cualquier elección de [math] n, m [/ math], es el caso de que [math] n ^ 5 – 4 \ not \ equiv m ^ 2 \ pmod {11} [/ math], y esto prueba que no hay soluciones

---

¿Por qué intenté usar 11 aquí? El número 11 no tiene nada de mágico: solo es un número primo [matemático] p [/ matemático] tal que [matemático] p – 1 = 10 [/ matemático] es un múltiplo de los exponentes [matemático] 5 [ / math] y [math] 2 [/ math] que tenemos en nuestra ecuación. A menudo es una buena idea ver qué pasa módulo tal número [math] p [/ math], y esto es una consecuencia del pequeño teorema de Fermat.
En este caso, tuvimos mucha suerte y esta técnica resuelve completamente el problema.

Answer 2

n ^ 5-4 es un cuadrado perfecto significa,
n ^ 5-4 = k ^ 2, donde k es entero
n ^ 5 = k ^ 2 + 4
n = (k ^ 2 + 4) ^ 1/5

Los valores posibles de k ^ 2 son 0,1,4,9,16,25,36 y así sucesivamente.
Por lo tanto, los valores posibles de n son 4 ^ 1 / 5,5 ^ 1 / 5,9 ^ 1 / 5,13 ^ 1 / 5,20 ^ 1 / 5,29 ^ 1 / 5,40 ^ 1/5 y así sucesivamente .

Answer 3

Le pregunté a Wolframalpha qué valores de y ^ 5-4 = x² eran enteros y me dijeron “Falso”. Aparentemente no hay tal animal.
resolver x² + 4 = y ^ 5 sobre los enteros