Si [math] log_ {10} (ax) log_ {10} (bx) + 1 = 0 [/ math] con [math] a> 0, b> 0 [/ math] las constantes tiene una sattion [math] x> 0 [/ math], ¿cuáles son los límites en [math] \ frac {b} {a} [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] (\ log a + \ log x) (\ log b + \ log x) + 1 = 0 [/ matemáticas]

Deje [math] p = \ log a, q = \ log b, y = \ log x [/ math]. Entonces

[matemáticas] (p + y) (q + y) + 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemática] y ^ 2 + (p + q) y + (pq + 1) = 0 [/ matemática]

Este cuadrático tiene una solución si y solo si su discriminante no es negativo. Por lo tanto

[matemáticas] (p + q) ^ 2-4 (pq + 1) (1) \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-4pq-4 \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] p ^ 2-2pq + q ^ 2-4 \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (qp) ^ 2-4 \ geq 0 [/ matemáticas]

Si dejamos [math] c = qp [/ math], obtenemos

[matemáticas] c ^ 2-4 \ geq 0 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] (c-2) (c + 2) \ geq 0 [/ matemáticas]

Entonces [math] c \ leq -2 [/ math] o [math] c \ geq 2 [/ math]

Pero tenga en cuenta que [matemática] c = qp = \ log b- \ log a = \ log \ frac {b} {a} [/ math].

Entonces [math] \ log \ frac {b} {a} \ leq -2 [/ math] o [math] \ log \ frac {b} {a} \ geq 2 [/ math]

Lo que significa que

[matemática] \ frac {b} {a} \ leq 0.01 [/ matemática] o [matemática] \ frac {b} {a} \ geq 100 [/ matemática].

Answer 2

[matemáticas] \ log (ax) \ log (bx) + 1 = 0 [/ matemáticas]

Deje que [math] c = \ log \ frac {b} {a} = \ log b- \ log a [/ math] y [math] y = \ log (ax) [/ math] luego

[matemáticas] \ log (bx) = c + y [/ matemáticas]

[matemática] \ Flecha derecha y (c + y) + 1 = 0 [/ matemática]

[math] \ Rightarrow y ^ 2 + cy + 1 = 0 [/ math]

Esto tiene una solución si el discriminante no es negativo, entonces

[matemáticas] c ^ 2 \ geq4 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow c \ leq-2 \ lor c \ geq2 [/ math]

[math] \ Rightarrow \ frac {b} {a} \ leq10 ^ {- 2} \ lor \ frac {b} {a} \ geq10 ^ {2} [/ math]

Gracias por el A2A.