Supongamos que un número divide [matemáticas] a [/ matemáticas] y divide [matemáticas] b [/ matemáticas]. Entonces también debe dividir [math] ab [/ math]. (Formalmente, si [matemática] a = dx [/ matemática] y [matemática] b = dy [/ matemática] entonces [matemática] ab = d (xy) [/ matemática].)
Por lo tanto, reemplazar [math] b [/ math] por [math] ab [/ math] no hará que el MCD sea más pequeño; la divisibilidad se preserva por sustracción.
¿Podría agrandar el MCD? No, por la misma razón, a menos que [matemáticas] a = b [/ matemáticas]. Si [math] d [/ math] dividió [math] a [/ math] y [math] ab [/ math] pero no dividió [math] b [/ math], eso sería una contradicción. (Volviendo al formalismo nuevamente, si [matemática] a = dx [/ matemática] y [matemática] ab = dy [/ matemática] entonces [matemática] b = dy + a = dy + dx = d (y + x) [/ matemáticas].)
En resumen, la operación de reemplazar [math] ba [/ math] no puede hacer que el GCD sea más pequeño, y no puede hacer que el GCD sea más grande, por lo que debe ser igual.
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