A veces, en Matemáticas, para encontrar una solución a un problema de valor límite, uno debe saber cómo expandir una función en una serie trigonométrica. Para expandir funciones en tales series, estas funciones también deben ser periódicas, y se expanden en una serie de Fourier.
Cuando el período de la función tiende hacia el infinito, la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier.
Algunas notas históricas:
En el siglo XVIII, muchos matemáticos y científicos importantes como Euler, Daniel Bernoulli, D’Alembert, Clairaut y Lagrange trabajaron en series trigonométricas relacionadas con funciones y señales.
De acuerdo con Wikipedia:
Varios autores, en particular Jean le Rond d’Alembert, y Carl Friedrich Gauss utilizaron series trigonométricas para estudiar la ecuación del calor, pero el avance revolucionario fue el papel de 1807 Mémoire sur la propagación del chaleur dans les corps solides por Joseph Fourier, cuyo Una idea crucial fue modelar todas las funciones por series trigonométricas, introduciendo la serie de Fourier.
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En 1822 [en su libro Théorie analytique de la chaleur o La teoría analítica del calor ] Joseph Fourier demostró que algunas funciones podrían escribirse como una suma infinita de armónicos.
Hubo tres contribuciones importantes en este trabajo, una puramente matemática, dos esencialmente físicas. En matemáticas, Fourier afirmó que cualquier función de una variable, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos de múltiplos de la variable. Aunque este resultado no es correcto, la observación de Fourier de que algunas funciones discontinuas son la suma de series infinitas fue un gran avance.
[…] Este trabajo proporciona la base de lo que hoy se conoce como la transformación de Fourier.
Hacer rigurosa la serie de Fourier, que en detalle llevó más de un siglo, condujo directamente a una serie de desarrollos en el análisis, en particular la declaración rigurosa de la integral a través de la integral de Dirichlet y más tarde la integral de Lebesgue.
Dirichlet en la década de 1820 formuló condiciones para que una función f (x) tuviera
La transformada de Fourier.
Riemann también escribió sobre la representabilidad de las funciones por series trigonométricas.
La serie de Fourier (notación compleja) viene dada por:
y la transformada de Fourier:
Como ejemplo, la función rectangular se define como:
y se representa como (imagen de Wikipedia, Archivo: Rectangular function.svg):
La función Sinc es la transformada de Fourier de la función rectangular.
Aquí hay un gráfico de la función sinc (hecha con Mathematica):
La serie Fourier se utiliza en problemas relacionados con el flujo de calor, la ecuación de Laplace, los sistemas de vibración, etc.
La transformación de Fourier tiene muchas aplicaciones en mecánica cuántica, cristalografía, procesamiento de información en imágenes médicas, teoría de sistemas LTI (Linear Time-Invariant), filtrado y procesamiento de señales, etc.
Las imágenes y las imágenes pueden considerarse como señales en dos dimensiones con colores y brillos que varían en el espacio. La transformación de Fourier se puede usar para limpiar tales imágenes.
El análisis armónico, una generalización de series de Fourier y transformadas de Fourier, estudia la representación de funciones o señales como la superposición de ondas básicas. Las ondas básicas se llaman armónicos.
La transformada discreta de Fourier se usa (entre otras cosas) en el análisis espectral y en la compresión de datos.
Los algoritmos de transformación rápida de Fourier también tienen numerosas aplicaciones en el procesamiento de señales digitales y otros campos.
La transformación rápida de Fourier es un método matemático para transformar una función del tiempo en una función de frecuencia. A veces se describe como una transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Es muy útil para el análisis de fenómenos dependientes del tiempo.
Fuente: transformadas rápidas de Fourier
Las transformadas de Fourier y Fourier rápidas (FFT) se utilizan, por ejemplo, para descomponer señales en sus frecuencias, para generar y filtrar transmisiones de Wi-Fi y teléfonos celulares, y para procesar datos en base a enrutadores Wi-Fi y redes 4G.
Gracias por John Knight por señalar la relación entre las transformadas de Fourier y Wi-Fi en su comentario.
Fuentes adicionales:
Esquema de Schaum del análisis de Fourier con aplicaciones a problemas de valor límite: Murray Spiegel: 9780070602199: Amazon.com: Libros
http://www.theguardian.com/scien…