El número máximo de elementos en cualquiera de estos subconjuntos es [matemática] 31 [/ matemática] , y hay [matemática] 2 ^ {31} [/ matemática] tales subconjuntos.
Sea [math] X = \ {9, 15, 21, \ ldots, 375 \} = \ {6k + 3: 1 \ le k \ le 62 \} [/ math]. Si [matemática] x_1 = 6k_1 + 3 \ en X [/ matemática] y [matemática] x_2 = 6k_2 + 3 \ en X [/ matemática], entonces [matemática] x_1 + x_2 = 6 (k_1 + k_2 + 1) [ /matemáticas]. Entonces [matemáticas] x_1 + x_2 = 384 = 64 \ cdot 6 [/ matemáticas] es equivalente a [matemáticas] k_1 + k_2 = 63 [/ matemáticas].
Por lo tanto, necesitamos encontrar el subconjunto [math] S [/ math] del tamaño máximo del conjunto [math] \ {1,2,3, \ ldots, 62 \} [/ math] tal que [math] s_1 + s_2 \ ne 63 [/ math] para cada elección de [math] s_1, s_2 \ en S [/ math].
Forme los pares [matemáticas] 31 [/ matemáticas] [matemáticas] \ {1,62 \}, \ {2,61 \}, \ {3,60 \}, \ ldots, \ {31,32 \} [/ matemáticas]. Si elegimos exactamente un elemento de cada uno de estos pares, el conjunto de elementos así formado satisface claramente la condición requerida (no hay dos elementos que sumen [math] 63) [/ math]. Tal elección se puede hacer de [math] 2 ^ {31} [/ math], ya que hay dos opciones para cada par y estas se hacen independientes entre sí.
- ¿Cuál es la intuición detrás de [matemáticas] mcd (a, b) = mcd (b, ab) [/ matemáticas]?
- ¿Por qué existen los métodos de interpolación Newton hacia atrás y Newton hacia adelante cuando alguno de ellos puede resolver problemas?
- ¿Cuál es la complejidad temporal del método Newton-Raphson utilizado para calcular las raíces cuadradas?
- Cómo encontrar las formas posibles de representar N números enteros que suman un valor entero de K
- Es 69 un número primo, ¿cómo se calculan los números primos?
Por otro lado, elegir [math] 32 [/ math] números del conjunto [math] \ {1,2,3, \ ldots, 62 \} [/ math] nos obliga a elegir ambos elementos de al menos un par . Cualquiera de estos pares tiene elementos que suman [math] 63 [/ math], violando el requisito para el subconjunto.
Esto prueba nuestras dos afirmaciones. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]