Primera parte:
Ecuación diferencial de primer orden. Puede intentar la integración por partes (que no es realmente una opción porque 2x-y no es separable, o usando un factor de integración. Para el factor de integración de cualquier FODE, separe la ecuación en esta forma:
dy / dx + a (x) * y = f (x)
El factor integrador, I (x), es la integración de e ^ (a (x) dx). Para este caso, I (x) es simplemente e ^ x (ya que a = 1)
Luego multiplique cada lado por I (x): e ^ x * dy / dx + e ^ x * y = 2x * e ^ x
El lado izquierdo siempre se convertirá en d / dx (I (x) * y) debido a la forma en que se define I (x), dándole la ecuación d / dx (e ^ x * y) = 2x * e ^ x
La integración de ambos lados con respecto a x nos da: e ^ x * y = int (2x * e ^ x) dx
La integral a la derecha se puede encontrar usando la sustitución de la regla de la cadena inversa usando u = 2x, du = 2 dx, dv = e ^ x, v = e ^ x. int (u * dv) = u * v – int (v * du)
En este caso, este método de sustitución da como resultado:
int (2x * e ^ x) dx = 2x * e ^ x – 2e ^ x
Conectar esto nuevamente a nuestra ecuación nos da e ^ x * y = 2x * e ^ x – 2 * e ^ x,
Dividiendo ambos lados por e ^ x para obtener la respuesta en la forma y = f (x) nos da y = 2x – 2
Nota: Esta respuesta debería ser técnicamente y = 2x – 2 + c / e ^ x o y = 2x – 2 + c * e ^ -x para tener en cuenta el término constante que resulta de tomar la integral indefinida del lado derecho, dando Eres una solución general.
Te dejaré manejar el campo de la pendiente, ya que eso es solo una gráfica simple.
Puede encontrar la segunda derivada diferenciando doblemente la ecuación y que se encuentra en la primera parte o diferenciando la ecuación original dy / dx nuevamente con respecto a x, conectando la expresión para dy / dx donde sea necesario. La concavidad depende del signo de la segunda derivada de una función, que depende de los signos respectivos de y y x, pero como están en el cuadrante II, son fáciles de determinar.
En la siguiente parte, le dan un problema de valor inicial, lo que significa que puede tomar la respuesta original, y = 2x – 2 + c * e ^ -x y resolver para c.
y (2) = 3 = 2 (2) – 2 + c * e ^ -2, c = 1 / e ^ -2 o c = e ^ 2
La ecuación se convierte en: y = 2x – 2 + e ^ (2-x)
Para determinar si hay un máximo, mínimo o ninguno en y (2), tome la primera derivada de y o conecte la ecuación y en la ecuación dy / dx original:
dy / dx = 2 – e ^ (2-x)
Como ocurre un mínimo o un máximo cuando dy / dx = 0, conecte 2 para x y vea si obtiene 0.
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la parte d es bastante simple, dado lo que encontramos en la primera parte.
Segunda parte:
Definen una función f (x) en términos de una constante k y dan su derivada también con respecto a k. La derivada de una función evaluada en un punto dado, produce la pendiente de la línea tangente de esa función en ese punto dado. Entonces, primero encuentre el punto en cuestión (ya sabe x = 4 yf (x), también conocido como y, así que simplemente conecte los valores para x y k para obtener su coordenada y). Luego, conecte sus valores k y x en la función derivada. El valor que obtienes de eso es tu pendiente, o m, en la ecuación y = mx + b. Luego encuentra b usando las coordenadas que encontraste en el primer paso.
De manera similar a la primera pregunta, determine si x = 2 es un punto crítico, encontrando el valor derivado en ese punto. Si es 0, entonces es un punto crítico y puede determinar si es un mínimo o máximo probando un punto cercano o usando la prueba de concavidad (segunda derivada), pero eso se vuelve un poco complicado. Si no es 0, entonces no es un mínimo o máximo.
Para que x = -5 sea un punto crítico, f ‘(x) debe ser 0 en ese punto. Mirando la expresión para f ‘, solo necesita hacer que el numerador sea igual a 0, ya que eso hará que toda la expresión sea 0. Entonces obtendrá k – 2 (-5) = 0 o k = -10.
La descomposición de fracción parcial es el proceso de tomar una fracción que tiene un polinomio en el denominador y dividirlo en sus factores fraccionarios.
x ^ 2 – 6x factores en x y x-6 por lo que tenemos que encontrar las constantes a y b que hacen que a / x + b / (x-6) sea igual a 1 / (x ^ 2-6x).
Para hacer esto, multiplicamos cada fracción por el factor que “falta”:
(a / x) * (x-6 / x-6) + (b / (x-6)) * (x / x) = 1 / (x ^ 2-6x)
Ambos denominadores ahora son iguales al significado polinómico original, simplemente podemos factorizarlo desde ambos lados y establecer los numeradores iguales entre sí:
a * (x-6) + b * x = 1
Esto también se puede escribir como a * (x-6) + b * x = 0 * x + 1 para que sea más fácil ver el sistema de ecuaciones que debe resolverse.
Distribuyendo a y luego separando los poderes de x:
a * x + b * x = 0 y a * -6 = 1
entonces a = -1/6 yb = 1/6, dándonos una descomposición de 1 / (x ^ 2 – 6x) = -1 / 6 * (1 / x) + 1/6 * (1 / (x- 6)). Puede factorizar los 1/6 si lo desea.
Esta descomposición hace que encontrar la integral sea mucho más fácil:
int (-1 / 6x + 1 / (6 * (x-6))) dx es simplemente 1/6 * (ln (-x) + ln (x-6))
Espero que ayude.