Un número [math] U_k [/ math] tiene únicamente dígitos ‘1’ en su representación decimal, es decir, [math] U_k = \ underbrace {11..1} _ {k \ text {times}} [/ math] para [ matemáticas] k> 2. [/ math] ¿Cómo demuestro que si [math] m [/ math] y [math] n [/ math] son coprime entonces [math] U_m [/ math] y [math] U_n [/ math] también son coprime ?

Gracias por A2A, George. Eliminé mi respuesta original porque la pregunta tenía un significado diferente.

Como [math] n, m [/ math] son números primos, existen [math] a, b \ in \ mathbb {N} [/ math] de modo que [math] an -bm = 1 [/ math] o [math] an -bm = -1. [/ math] Entonces WLOG [math] an = bm + 1 [/ math] (de lo contrario, cambie [math] n [/ math] y [math] m [/ math]).

Sea [math] q = \ mathrm {gcd} (10 ^ {n} -1, 10 ^ {m} -1). [/ Math]

Dado que [math] 10 ^ {n} -1 [/ math] divide [math] 10 ^ {an} -1 [/ math] debido a [math] 10 ^ {an} -1 = (10 ^ {n} – 1) (10 ^ {(a-1) n} +10 ^ {(a-2) n} + \ ldots + 1) [/ math] y, por la misma razón, [math] 10 ^ {m} – 1 [/ math] divide [math] 10 ^ {bm} -1, [/ math] concluimos que [math] q [/ math] divide tanto [math] 10 ^ {an} -1 [/ math] como [ matemáticas] 10 ^ {bm} -1. [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemática] q [/ matemática] divide su diferencia [matemática] 10 ^ {an} -1 – (10 ^ {bm} -1) = 9 \ cdot 10 ^ {bm}. [/ Matemática]

Dado que los poderes de [matemáticas] 10 [/ matemáticas] no dividen [matemáticas] 10 ^ {n} -1 [/ matemáticas] (y [matemáticas] 10 ^ {m} -1 [/ matemáticas]), se deduce que [ matemática] q [/ matemática] divide [matemática] 9. [/ matemática] Además, [matemática] q = 9 [/ matemática] ya que tanto [matemática] 10 ^ {n} -1 [/ matemática] como [matemática] 10 ^ {m} -1 [/ math] son divisibles por [math] 9. [/ math] Ahora recuerda que [math] U_m = \ frac {10 ^ m -1} {9} [/ math] y [math] U_n = \ frac {10 ^ n -1} {9}. [/ Math] Por lo tanto [math] \ mathrm {gcd} (U_n, U_m) = \ frac {9} {9} = 1. [/ Math]